Leis de Newton

 Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

As tentativas de entender as causas e consequências do movimento dos corpos, assim como as interações entre eles foram questões que intrigaram o ser humano por uma grande parte da história. Aristóteles, grande filósofo grego e detentor de um grande conhecimento, acreditava que, dois corpos em queda livre caindo de uma mesma altura chegam ao chão em tempos diferentes, onde o objeto de maior massa chega ao solo mais rapidamente que o de menor massa. Além disso, acreditava que todo corpo fora de sua posição natural "tendia" a voltar, o explicaria o fato dos corpos caírem em queda livre. Também acreditava que a causa do movimento (quando se empurra uma caixa, por exemplo) seria aquilo que chamava de "força bruta" exercida sobre o corpo.

Porém, todas as ideias de Aristóteles eram baseada em conhecimentos do senso comum, mas a ciência ultrapassa suas fronteiras quando surge na Itália o Pai da ciência moderna, Galileu Galilei, mostrando uma nova forma de afirmar e demonstrar os fenômenos observados, onde a base era à experimentação. Tal método deu início a toda a contrução científica atual, a "ciência moderna". Galileu deu início aos estudos do movimento, mostrando suas causas e consequências.

Alguns meses posteriores a morte de Galileu, nasce na Inglaterra aquele que seria um dos maiores gênios da história da ciência, Sir Isaac Newton. Seus trabalhos sobre o movimento dos corpos contemplaram toda uma história e alcançaram horizontes jamais imaginados pela humanidade, nos fornecendo conhecimentos necessários para o engrandecimento. Têm-se como objetivo discorrer e debater acerca das três leis de movimento de Newton.

As leis de Newton

As leis de Newton são responsáveis por descrever as causas e consequências do movimentos.

Primeira Lei de Newton

Galileu defendia que tudo deveria ser provado de maneira experimental. Em umas das histórias sobre suas façanhas, Galileu subiu ao topo da Torre de Pisa (cidade onde nasceu) e de lá soltou objetos dos mais variados tamanhos e pesos, no qual acreditava que tais corpos chegariam ao chão em tempos iguais. Naqueles tempos, tais ideias contrariavam veementemente os pensamentos predominantes, mas é claro que a genialidade do homem não fora abatido.

Em um de seus experimentos, Galileu percebeu que, ao lançar uma bola em um plano inclinado com orientação vertical para cima, como na figura 1,

Figura 1: Bola subindo em um caminho inclinado.

percebeu que a bola perde velocidade até chegar em uma determinada altura limite. Inversamente, percebeu que ao jogar uma objeto (neste caso, consideramos a bola) em um plano inclinado para baixo, a velocidade aumenta, observe  nas figuras 1 e 2.

Figura 2: Bola descendo em um caminho inclinado.

Figura 3: Experimento de Galileu.

Assim, Galileu notou que, ao lançar a bola de determinada altura de um dos lados da rampa, como na Figura 3, esta chegava na mesma altura do outro lado da rampa, independente do ângulo de inclinação considerado. Também percebeu que, quanto menor o atrito nas rampas, maior era a precisão desta distância alcançada, com a bola alcançando aproximadamente a mesma altura que fora largada nas extremidades da rampa.

Figura 4: Plano sem inclinação.

Naturalmente, pensou que se não houvesse inclinação e atrito, como na figura 4, então o movimento poderia ser infinito, sem ação de forças externas. Desta forma, a ideia da primeira lei de Newton é vista da seguinte forma

Na ausência de forças externas em um sistema dinâmico, o corpo em velocidade constante mantém-se constante, enquanto um corpo em repouso permanece em repouso.

Esta ideia primordial viria a ser complementada e estruturada por Isaac Newton.  

Segunda lei de Newton: Lei Fundamental da dinâmica 

Para enunciar a segunda lei de Newton, alguns conceitos físicos básicos devem ser entendidos.

Inércia e massa - suas relações

Em linhas gerais, a inércia é uma propriedade da matéria que resiste a alteração no movimento. A pergunta que se faz naturalmente é: "O quanto cada corpo é capaz de se opor a alteração de movimento". Neste caso, a massa está estritamente ligada a esse fenômeno, pois quanto maior a massa do corpo, maior será sua resistência a alteração do seu momento dinâmico. E quando sofre aceleração, o que podemos dizer sobre? Acompanhe no próximo tópico.

Força

Força é uma grandeza vetorial, geralmente representada por uma seta, e representa a interação entre dois ou mais corpos.

Relação entre massa, força e aceleração

A massa é uma propriedade que exibe a quantidade de matéria presente em um corpo e, como fora dito anteriormente, está relacionada com a inércia. Para produzir aceleração, é necessário que a força aplicada sobre o corpo vença a inércia e as forças que se opõe ao sentido da força aplicada, tendo mais aceleração quanto maior sua intensidade e menor proporcionalmente, assim como a aceleração aumenta quanto menor for a massa e vice-versa (uma vez que está inteiramente ligada com a inércia). Logo, podemos concluir que a aceleração é diretamente proporcional a força aplicada e inversamente proporcional a massa do corpo.

$$\textrm{aceleração} = \frac{\textrm{forca}}{\textrm{massa}}$$

Enunciado

Depois de toda a discussão acima, podemos afirmar que

A aceleração de um corpo é diretamente proporcional a força aplicada e inversamente proporcional a massa do corpo

Matematicamente, a equação que representa a segunda lei de Newton é 

$$a = \frac{F}{m} \textrm{ ou } F = ma$$

Tendo em vista tais fatos, podemos também enunciar a segunda lei de Newton da seguinte forma: 

Quando as forças externas em um sistema não se anulam, o movimento será na direção da força resultante

Matematicamente falando, temos

$$\sum F \neq 0 $$

então o movimento será dado na direção da força resultante e terá módulo

$$F = ma$$

Terceira lei de Newton

A terceira lei de Newton estabelece uma lei de "ação" e "reação" na interação entre dois ou mais corpos. Em síntese, quando um corpo interage outro, sempre terá uma força contrária a força aplicada e de mesmo módulo. A terceira lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma. Segundo [1]:

Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro são iguais e módulos e sentidos opostos.

Uma pergunta natural que se faz nesse momento é: "Se esta lei é válida, então todas as forças na interação entre dois corpos sempre se anulam e nunca teremos movimento?"

A partir dessa ideia, temos a ideia de sistema, ou seja, o movimento depende do sistema considerado, pois forças externas são capazes de alterar o movimento, mas forças internas sempre se anulam, então segue da primeira lei de Newton. Todavia, ainda não falamos de sistema, não é? A ideia é que apenas dois sistemas distintos podem interagir um com o outro a ponto de que eles influenciem no resultado final de seu movimento, em outras palavras, quando considerado dois corpos aplicando uma força um com o outro, haverá movimento se a força aplicada em um dos corpos for superior a inércia do outro.

Figura 5: Empurrando uma caixa, enquanto esta caixa exerce uma força de mesmo módulo, mas sentido contrário. Por se tratarem de sistemas diferentes e a força aplicada pela mão for externa ao sistema da caixa, ele entrará em movimento quando a força da mão vencer a inércia e as forças dissipativas presentes. Fonte: Denis, blog biologia total, 2019.

Exemplos

Figura 6: Nesta situação do homem realizando flexão, ele encontra-se em situação de equilíbrio, pois empurra o chão na mesma intensidade que o chão o empurra. Fonte: Blog do professor Ferreto, 2020.

Figura 7: Nesse caso, o foguete empurra o gás através de suas turbinas enquanto o gás expelido empurra o foguete em sentido contrário, o que possibilita o seu lançamento. Fonte: Denis, blog biologia total, 2019.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Conservação do Momento". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Hewitt, Paul G.; Física conceitual; 12ª edição. Editora: Bookman. Porto Alegre, 2015.

Movimento Circular Uniforme

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

O movimento circular uniforme é um movimento bidimensional (plano), em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade instantânea é constante, de modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempos iguais. Temos assim um movimento periódico, em que o período corresponde ao tempo levado para descrever uma volta completa.

Suponha que uma partícula esteja girando, correspondente a um sistema cartesiano com origem no centro do círculo, figura 1, com as condições especificadas no parágrafo anterior. Em um instante, dado a posição de uma partícula como P, vemos que sua posição é definida em termos de $\theta$, entre o vetor deslocamento $\vec{r}=\vec{OP}$ e o eixo $Ox$, onde $\theta$ é positivo no sentido anti-horário. Lembrando que $\theta$ é medido em radianos.

Figura 1: Movimento circular

Vamos introduzir dois vetores unitários $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$, onde $\hat{r}$ está na direção de $\vec{r}$, e $\hat{\theta}$ é tangente ao círculo em P, orientado na direção de $\theta>0$, e portanto perpendicular a $\vec{r}$.

Pelas condições do movimento circular uniforme, a lei horária do movimento é

$$s(t)=s_{0}+v(t-t_{0}),$$ onde $s=\vert\vec{r}\vert\theta$. Pela definição de $s$, $s_{0}$ é o valor do arco no instante inicial $t_{0}$ e $v$ é a velocidade com a qual o arco $s$ é descrito. 

Lembrando da definição de velocidade, variação do deslocamento pela variação no tempo, temos que a velocidade instantânea é dada por $v=\vert\vec{v}\vert=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta s}{\Delta t}\bigg)=\frac{ds}{dt}$, porém quando $\Delta t\rightarrow0$ implica na extrema aproximação de $\vert\Delta \vec{r}\vert$ com $\Delta s$. Portanto, se $\vert\vec{r}(t)\vert = c$ (uma constante), então $\vec{r^{'}}(t)=\frac{dr}{dt}$ é ortogonal a $\vec{r}(t)$ para todo t. Uma vez que

$$\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)=\vert\vec{r}(t)\vert^{2}=c^{2},$$ pela regra do produto (derivação de um produto) temos

$$\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)+\vec{r}(t)\cdot\vec{r^{'}}(t)=2\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t),$$ mas como $\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=0$. Obtemos por fim que

$$\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)=0 \Longrightarrow \vec{r^{'}}\bot\vec{r}.$$

Por consequência disto, a velocidade instantânea $\vec{v}$ é tangente ao círculo no ponto P, pois no limite $\Delta t\rightarrow0$, $\vert\Delta \vec{r}\vert$ se confunde com $\Delta s$.

Como $\vec{v}$ é tangente, temos então $\vert\vec{v}\vert=v\hat{\theta}$.

Figura 2: Vetor velocidade de uma partícula

O período $T$ é o tempo levado para descrever uma volta completa, ou seja 

$$T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}.$$

Chama-se de frequência o número de rotações por unidade de tempo, e é definido como o inverso do período $f=\frac{1}{T}.$

Empregando $s=\vert\vec{r}\vert\theta$ em $s(t)=s_{0}+v(t-t_{0})$, obtemos uma expressão da lei horária em termos do ângulo $\theta$ descrito em função do tempo:

$$\theta(t)=\theta_{0}+\omega(t-t_{0}),$$ onde $$\omega=\vert\vec{v}\vert/\vert\vec{r}\vert,$$ chama-se velocidade angular. Percebe-se que a velocidade cresce linearmente com o tempo, ou seja, $\vert\vec{v}\vert=\omega\vert\vec{r}\vert$; o que faz sentindo pois na "circunferência mais externa", a partícula deve percorrer um arco $s$ maior, e como tem de se manter os arcos de círculo iguais em tempos iguais, deve-se aumentar o módulo da velocidade (em todo o arco de circulo, pois em círculos diferentes ela mudará).

Substituindo $T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}$ em $\omega=v/\vert\vec{r}\vert$, obtemos $$\vert\omega\vert=\frac{2\pi}{T}=2\pi f.$$

Figura 3: Vetores velocidade e aceleração

A fig. 3 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento circular uniforme. O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da circunferência. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de aceleração centrípeta (“que busca o centro”).

Há vários jeitos de se alcançar a expressão da aceleração no movimento circular uniforme. Vamos apresentar o jeito que acreditamos ser o mais didático possível.

Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme, considere a fig. 4. Na fig. 5 a partícula $p$ se move com velocidade escalar constante enquanto percorre uma circunferência de raio $\vert\vec{r}\vert=r$. No instante mostrado, as coordenadas de $p$ são $x_{p}$ e $y_{p}$.

Como vimos anteriormente, a velocidade de uma partícula em movimento é sempre tangente à trajetória da partícula na posição considerada. Na fig. 4, isso significa que $\vec{v}$ é perpendicular a uma reta $r$ que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo $\theta$ que $\vec{v}$ faz com uma reta paralela ao eixo $y$ passando pelo ponto $p$ é igual ao ângulo $\theta$ que o raio $r$ faz com o eixo $x$.

As componentes escalares de $\vec{v}$ são mostradas na fig. 5. Em termos dessas componentes, a velocidade pode ser escrita na forma

$$\vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}=(-v\sin{\theta})\vec{i}+(v\cos{\theta})\vec{j}.$$

Usando o triângulo retângulo da fig. 4, podemos substituir $\sin{\theta}$ por $y_{p}/r$ e $\cos{\theta}$ por $x_{p}/r$ e escrever

$$\vec{v}=-\frac{vy_{p}}{r}\vec{i}+\frac{vx_{p}}{r}\vec{j}.$$

Para determinar a aceleração $\vec{a}$ da partícula em $p$, devemos calcular a derivada de $\vec{v}$ em relação ao tempo. Observando que a velocidade escalar $v$ e o raio $r$ não variam com o tempo, obtemos

$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\bigg(-\frac{v}{r}\frac{dy_{p}}{dt}\bigg)\vec{i}+\bigg(\frac{v}{r}\frac{dx_{p}}{dt}\bigg)\vec{j}.$$

Note que a taxa de variação com o tempo de $y_{p}$ é igual à componente $y$ da velocidade, $v_{y}$. Analogamente, $dx_{p}/dt = v_{x}$, e, novamente de acordo com a fig. 5, $v_{x} = –v \sin{\theta}$ e $v_{y} = v \cos{\theta}$.

Fazendo essas substituições na equação de $\vec{a}$, obtemos

$$\vec{a}=\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}\bigg)\vec{i}+\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}\bigg)\vec{j}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}.$$

Esse vetor e suas componentes aparecem na fig. 6. Portanto, o tamanho do vetor $\vec{a}$ dá o valor escalar da aceleração. Então

$$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\frac{v^{2}}{r}\sqrt{(\cos{\theta})^{2}+(\sin{\theta})^{2}}=\frac{v^{2}}{r}.$$

Para determinar a orientação de $\vec{a}$, basta calcularmos o ângulo $\theta_{6}$ (ângulo relacionado a fig. 6):

$$\tan{\theta_{6}}=\frac{a_{y}}{a_{x}}=\frac{-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}}{-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\tan{\theta} \longrightarrow \theta_{6}=\theta.$$ O que significa que $\vec{a}$ aponta na direção do raio $r$ da fig. 4.

Figura 4: Sistema do movimento

Figura 5: Componentes da velocidade

Figura 6: Componentes da aceleração

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "As leis de Newton". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.