Novo episódio do podcast Centauro Mental - Física no teatro

Foi lançado o novo episódio do podcast Centauro Mental, de título "Física no teatro".

Neste episódio do podcast Centauro Mental, conversamos sobre o papel da física no teatro e sobre experiências que tivemos envolvendo esta arte.

O episódio pode ser escutado no anchor.fm ou no Spotify.

Movimento Bidimensional

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando a discussão sobre cinemática das últimas semanas, hoje falamos sobre movimento em mais de uma dimensão, generalizando o tema da semana passada.

O movimento unidimensional que vimos anteriormente é um caso particular de uma classe mais ampla de movimentos que ocorrem em duas ou três dimensões. Se o movimento de um corpo está completamente restrito a um plano, ele é denominado movimento bidimensional. Neste caso, a posição é especificada através de coordenadas polares $(r, \theta)$ ou cartesianas $(x, y)$.

Para movimentos planos, as grandezas cinemáticas: posição $r$ (dado pelo ponto $(x,y)$), velocidade $v$ e aceleração $a$, não são necessariamente paralelas como acontece no movimento unidimensional. Desta forma, é de importância fundamental tratar estas grandezas vetorialmente. Assim, todas as grandezas até então definidas serão tratadas como vetores

$$\vec{v}_{méd}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$

$$\vec{v}_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\bigg)_{t=t_{0}},$$ onde $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}$ é um vetor de posição relativo a um referencial qualquer.

$$\vec{a}_{méd}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$

$$\vec{a}_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\bigg)_{t=t_{0}}.$$

A variação temporal de um vetor pode ser analisada através da variação temporal de suas componentes, da forma:  $$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}\Longrightarrow\vec{v}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}.$$ Lembre-se, os vetores unitários $\vec{i}$ e $\vec{j}$ não variam com o tempo.

Uma prática muito recorrente é a de decompor vetores, isto é útil, pois permite analisar o movimento independentemente. Por exemplo, $$\vec{v}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j},$$ ou seja, a velocidade na direção $x$ só depende da variação da coordenada $x$ com o tempo, e a mesma coisa pode ser dita para a velocidade na direção $y$. Por isso, as equações do movimento retilíneo uniforme, ou uniformemente variado, podem ser utilizados no movimento bidimensional, pois tratamos tal movimento como sendo uma composição de outros dois movimentos. Por exemplo, no caso do lançamento de projéteis (desprezando a resistência do ar, ou tudo que atrapalhe o movimento), levando como referencial um plano cartesiano, temos uma composição de dois movimentos retilíneos, um acelerado através do eixo $y$ e outro uniforme na direção do eixo $x$. Por tanto, as equações destes dois movimentos são "renovados" com um caráter vetorial.

Um caso importante de movimento plano é aquele onde temos: $\vec{a}=-g\vec{j}$ (aceleração da gravidade)  que corresponde ao movimento de um corpo atirado de maneira arbitrária. Neste caso, o movimento será acelerado na direção $y$ e não acelerado nas demais. Vamos imaginar a situação em que o corpo é lançado obliquamente de maneira a formar um ângulo θ com a superfície, como mostrado na figura.

Lançamento de um projétil

Tomando-se o eixo $x$ paralelo à superfície e o eixo $y$ na vertical, a velocidade inicial $v_{0}$ pode ser decomposta em $v_{x}= v_{0} \cos{\theta}$ e $v_{y} = v_{0} \sin{\theta} $ . Na direção $x$ não existe aceleração, porém na direção $y$ temos $a_{y} = -g$ de modo que temos: 

$$\begin{cases}v_{x}(t)=v_{0}\cos{\theta}\\x(t)=x_{0}+v_{x}t=x_{0}+v_{0}\cos{\theta}t \end{cases}$$

e

$$\begin{cases}v_{y}(t)=v_{y}-gt=v_{0}\sin{\theta}-gt\\y(t)=y_{0}+v_{y}t-\frac{1}{2}gt^{2} \end{cases}$$

Eliminando-se o tempo do primeiro conjunto de equações $(t=\frac{x-x_{0}}{v_{x}} )$ e substituindo no segundo obtemos:  $$y=y_{0}+v_{y}\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}}\bigg)-\frac{1}{2}g\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}}\bigg)^{2}.$$ Que representa uma trajetória parabólica. A altura máxima pode ser calculada tomando-se $dy/dx = 0$. Portanto $$\frac{v_{y}}{v_{x}}-g\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}^{2}}\bigg)=0\Longrightarrow x=x_{max}=x_{0}+\bigg(\frac{v_{x}v_{y}}{g}\bigg)$$ e substituindo em $y(t)$ obtemos a expressão para a altura máxima atingida na trajetória: $$y=y_{max}=y_{0}+\frac{1}{2}\frac{v_{y}^{2}}{g}.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Movimento Circular Uniforme". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Piórichkine A.V.; Ródina N.A. FÍSICA 1. U.R.S.S., 1984. 366 pág. Editora: Mir. Moscovo.

Equações do Movimento

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando a discussão da semana passada sobre cinemática, hoje falaremos sobre as equações do movimento em si, ou seja, como descrever matematicamente o movimento. Nesta semana falaremos sobre movimento unidimensional e na próxima sobre movimento bidimensional.

Percebe-se que $x(t)$ não tem uma expressão definida, subentendendo que o caminho pode ser qualquer, porém vamos nos limitar a situações que envolvem velocidade e aceleração constante.

Movimento uniforme

Aquelas situações com velocidade constante e trajetória linear são denominadas de movimento retilíneo uniforme, de tal forma que utilizando a definição de velocidade obtemos a expressão horária da trajetória, ou seja, com $$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{1}-x_{2}}{t_{1}-t_{2}},$$ onde $x_{i}=x(t_{i})$. 

Tomando $t_{1}$ como um instante $t$ qualquer e $t_{2}$ como um tempo inicial fixo $t_{0}$, implicando em uma posição inicial fixa $x(t_{0})=x_{0}$, obtemos uma expressão que dá a posição em qualquer instante de tempo $t$ 

$$x_{0}+v(t-t_{0})=x(t).$$

Lembrando que $v$ é constante (independente do tempo), ou seja, $v=\frac{dx}{dt}=c$, onde $c$ é uma constante. Gerando o gráfico de uma reta: 

$$c(t-t_{0})+x_{0}=x(t).$$

Movimento uniformemente acelerado

Agora trataremos de um movimento especial. Um movimento retilíneo chama-se uniformemente acelerado quando a aceleração instantânea é constante (independente do tempo): $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=c$. Nesta situação também há uma expressão horária que determina a trajetória e mais, a velocidade em função do tempo tem como gráfico uma reta. Para mostrar a dependência da velocidade no tempo, considere um movimento durante um intervalo de tempo $[t_{0},t]$, onde $t_{0}$ é o "instante inicial". Pela definição de aceleração instantânea, sabemos que $$v(t)-v(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t} a dt=a(t-t_{0}),$$ lembre-se que $a$ é constante em relação ao tempo. Fazendo uma mudança de notação $v(t_{0})=v_{0},$ onde $v_{0}$ é um ponto fixo, temos 

$$v(t)=v_{0}+a(t-t_{0}).$$

Mostrando que a velocidade é uma função linear do tempo no movimento uniformemente acelerado.

Encontramos uma das equações que engloba este tipo de movimento, mas falta expor a lei horária. Para expressar a lei horária devemos lembrar da definição de velocidade: $v(t)=\frac{dx(t)}{dt}.$ A partir desta definição podemos ver que, em uma trajetória $x(t)$ (onde sua velocidade está representada no figura 2.1) durante o intervalo de tempo $[t_{0},t]$, a variação da distância entre os extremos do intervalo é dado por

$$x(t)-x(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t}v(t)dt.$$

Como o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta, fica fácil ver que a área associada a integral da velocidade, representada na figura 2.1, é um trapézio. De tal forma que podemos dividir este trapézio em outras duas formas geométricas: um triângulo e um retângulo. Portanto, a área do trapézio pode ser calculada como a soma da área do retângulo, isto é $v_{0}(t-t_{0})$, com a área do triângulo, que é $\frac{1}{2}(t-t_{0})a(t-t_{0})$, ou seja

$$\int_{t_{0}}^{t}v(t)dt=v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}(t-t_{0})a(t-t_{0})$$

$$\Longrightarrow x(t)-x(t_{0})=v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}(t-t_{0})a(t-t_{0}).$$ Definindo $x(t_{0})=x_{0}$, onde $x_{0}$ é um ponto fixo, temos a lei horária do movimento retilíneo uniformemente variado $$x(t)=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}a(t-t_{0})^{2},$$ com condições iniciais sendo $x_{0}$ e $v_{0}$ em $t_{0}$. O gráfico $x\times t$ é uma parábola.

Integração da velocidade.

É interessante perceber que uma única substituição simples pode levar a uma expressão matematicamente vantajosa. A equação de Torricelli exprime a velocidade no movimento uniformemente acelerado como função da posição. Para obter esta expressão, basta substituir a equação

$$v(t)=v_{0}+a(t-t_{0})$$ em $$x(t)=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}a(t-t_{0})^{2},$$ eliminando $t-t_{0}$: $$t-t_{0}=\frac{v-v_{0}}{a}$$

$$x(t)=x_{0}+v_{0}\bigg(\frac{v-v_{0}}{a}\bigg)+\frac{a}{2}\frac{(v-v_{0})^{2}}{a^{2}}$$

$$x - x_0 = \frac{v-v_{0}}{a}\bigg(v_{0}+\frac{v}{2}-\frac{v_{0}}{2}\bigg)=\frac{(v-v_{0})(v+v_{0})}{2a}=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}$$

$$\Longrightarrow v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0}).$$ Que é a expressão desejada.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem falaremos sobre "Movimento Bidimensional". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Movimento

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

A partir da postagem de hoje, iniciaremos o tópico de cinemática, ou seja, o estudo de como descrever o movimento de um corpo matemáticamente, sem se preocupar com as forças que provocam tal movimento.

Conceitos Iniciais

Para descrever um movimento, temos que definir alguns conceitos de grande importância: referencial, velocidade média, velocidade instantânea e aceleração média e instantânea.

Um referencial é algo subjetivo, na qual é onde as observações de fenômenos diversos são feitas. Ao mudar o referencial, a percepção dos fenômenos também muda. O referencial pode ser entendido como o ponto de vista de um observador colocado em determinado lugar no espaço. No caso unidimensional mais simples, é simplesmente a Reta, ou seja, é um conjunto ordenado de pontos, onde ela é representada geometricamente como uma linha reta.

A velocidade média é definida, usando coordenadas cartesianas (unidimensional) e t como parâmetro para o tempo, como 

$$v_{méd}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{1}-x_{2}}{t_{1}-t_{2}},$$ onde $x_{i}=x(t_{i})$ para $i=\{1,2\}$. Aqui, não nos interessa qual a velocidade entre o caminho $x(t)$, ou seja, entre os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$, apenas interessa os extremos (os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$).

Um instante é algo momentâneo, algo que se dá em um intervalo de tempo extremamente pequeno. Então, a velocidade instantânea é tal onde se tem $\Delta t\rightarrow0$. Se você conhece os conceitos básicos de cálculo, já deve ter percebido que a velocidade instantânea é dada pela derivada da função $x(t)$ em relação ao tempo; lembre-se que $\Delta t\rightarrow0$ implica $\Delta x\rightarrow0$, mas o quociente $\Delta x/\Delta t$ tende a um número finito. Portanto, a definição de velocidade instantânea é dado por 

$$v_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left[\frac{x(t_{0}+\Delta t)-x(t_{0})}{\Delta t}\right]=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{t=t_{0}}=\left(\frac{d(x(t))}{dt}\right)_{t=t_{0}},$$ onde $t_{0}$ é apenas um ponto fixo entre o caminho $x(t)$ (entre os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$).

Há outras definições que são obtidas a partir das definições de velocidade média e instantânea, são elas: aceleração média e instantânea. Em linhas gerais, o raciocínio para se chegar a essas definições é o mesmo da velocidade. Temos que a aceleração média e instantânea é dada por

$$a_{méd}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{1}-v_{2}}{t_{1}-t_{2}}$$ e 

$$a_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left[\frac{v(t_{0}+\Delta t)-v(t_{0})}{\Delta t}\right]=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{t=t_{0}}=\left(\frac{d(v(t))}{dt}\right)_{t=t_{0}}.$$

Percebe-se que se a aceleração é função do tempo $a(t)$, então a variação da velocidade entre dois instantes é definida como 

$$v(t_{1})-v(t_{2})=\int_{t_{2}}^{t_{1}} a(t)dt.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem falaremos sobre "Equações do Movimento". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[3] Piórichkine A.V.; Ródina N.A. FÍSICA 1. U.R.S.S., 1984. 366 pág. Editora: Mir. Moscovo.

Novo episódio do podcast Centauro Mental - Física no Mundo Geek

Foi lançado o novo episódio do podcast Centauro Mental, de título "Física no Mundo Geek".

Neste episódio do podcast Centauro Mental, Priscila, Wellington, Luís e Evandro conversam sobre como os mundos da cultura geek e da física se entrelaçam para criar animes, mangás, filmes e jogos que estimulam a nossa imaginação.

O episódio pode ser escutado no anchor.fm ou no Spotify.

Ordens de Grandeza e Algarismos Significativos

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Na Física, é comum termos de lidar com números extremamente grandes ou extremamente pequenos, uma vez que a Física abrange o estudo em escalas atômicas até a escala do Universo. Com isso, se faz jus de usar a notação potencial. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo é aproximadamente $300.000$ km/s $=3\times10^{5} $ km/s.

Toda medida é feita com certa margem de precisão, e o resultado deve ser indicado até o ultimo algarismo significativo. Suponha que você esteja trabalhando em um problema no qual obteve um resultado que é expresso por dois dígitos numéricos. Esses dígitos são chamados de algarismos significativos e estabelecem o número de dígitos que devem ser usados na resposta do problema, por assim dizer. 

Algarismos significativos são utilizados para monitorar os erros ao se representar números reais obtidos de uma medição. Assim, caso o trabalho for medir o comprimento de uma sala e se o resultado for indicado como sendo 7 m, deve-se subentender uma precisão na medida de $\pm 0,5$ m, ou seja, devido a incerteza, só podemos dizer que o comprimento da sala está entre $6,5$ m e $7,5$ m. Se indicarmos agora como sendo $7,00$ m, subentende-se uma medida muito mais precisa, com incerteza agora de $0,005$ m, ou seja, o resultado está entre $6,995$ m e $7,005$ m.

Veja que $0,0001$ só tem um algarismo significativo, enquanto que $0,1000$ tem quatro. É conveniente escrever em termos de potências, ou seja, $0,0001=1\times10^{-4}$ e $0,1000=1\times10^{-1}$, empregando sempre números entre 1 e 10 seguidos de uma potência apropriada de 10. Com esta notação, fica fácil verificar quantos algarismos significados o número tem, pois serão a quantidade de dígitos do coeficiente da potência de 10. 

    Exemplo:

De que ordem de grandeza é o número de segundos em um ano?

$$1 \text{ano}  \sim 12\times30=3,6\times10^{2} \text{dias}$$

onde "$\sim$" significa: "da ordem de".

$$1 \text{dias}= 24\times60\times60\sim 8,6\times10^{4} \text{s}$$

$$ \therefore 1\text{ano}\sim8,6\times3,6\times10^{6} \text{s} \sim 3\times10^{7} \text{s}.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem começaremos o conteúdo de cinemática, falando sobre "Movimento". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Novo episódio do podcast Centauro Mental - Física no Circo

Foi lançado o novo episódio do podcast Centauro Mental, de título "Física no Circo".

Neste episódio do podcast Centauro Mental, conversamos sobre o papel da física nas atividades circenses, sobre a compreensão intuitiva da física que os artistas possuem e sobre algumas experiências que tivemos envolvendo o circo.

O episódio pode ser escutado no anchor.fm ou no Spotify.