A Cosmologia na Renascença

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje continuaremos a discussão sobre Gravitação, desta vez abordando a Cosmologia na Renascença, até antes do desenvolvimento das Leis de Kepler. Nas próximas duas postagens finalizaremos o tema com as Leis de Kepler e a Lei da Gravitação Universal de Newton.

A Renascença descreve o período da história europeia que vai do início do século XIV até o final do século XVI. O termo “renascença” se originou da palavra italiana “rinascita”, que literalmente significa “renascer”, e descreve as mudanças radicais que ocorreram na cultura europeia durante estes séculos. É nesta época que vemos o desaparecimento da Idade Média e, pela primeira vez, a incorporação à sociedade dos valores do mundo moderno. Neste período vemos a exploração do globo terrestre com as grandes navegações feitas por portugueses e espanhóis. Vemos também um incrível desenvolvimento da expressão artística, com Leonardo da Vinci (1452-1519), Rafael Sanzio (1483-1520), Ticiano Vecellio (1490?- 1576), Michelangelo di Lodovico Buonarroti Simoni (1475-1564) e também das ciências com Nicolau Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601), Johannes Kepler (1571-1630) e Galileu Galilei (1564-1642). 

Nicolau Copérnico (1473-1543):

Copérnico começou então a imaginar se o modelo de Ptolomeu poderia estar realmente

correto. Seus estudos revelaram que na antiguidade, entre os gregos, havia teorias rivais sobre os cosmos - incluindo até mesmo aquela de Aristarco de Samos (310-230 a.C.) que declarava que a Terra se movia em torno do Sol. Ele ficou intrigado com a noção de um sistema planetário heliocêntrico, ou seja, centrado no Sol. Testando essa ideia com suas próprias observações notando que ela concordava com as evidências observacionais de um modo muito mais simples do que a solução de Ptolomeu. Assim, para fugir dos problemas apresentados pelo modelo de Ptolomeu, Copérnico desenvolveu um modelo heliocêntrico do Sistema Solar. Ao contrário do que é comumente afirmado, Copérnico não tinha observações novas e muito mais precisas que exigissem o abandono da velha teoria de Ptolomeu. Foi a atração por uma maior harmonia matemática que o fez procurar algo diferente de Ptolomeu. Na opinião de Copérnico, quando Ptolomeu introduziu o movimento em torno do ponto equante em sua teoria, ele violou o princípio de que os corpos celestes deveriam se mover segundo um movimento circular uniforme. Além disso, na teoria heliocêntrica desenvolvida por Copérnico vários fenômenos observados ocorriam (quase) naturalmente, ao contrário do que acontecia na teoria de Ptolomeu onde esses fenômenos sempre precisavam ser ajustados. O modelo heliocêntrico de Copérnico mantinha a noção de movimento circular perfeito, mas colocava o Sol no centro, além de estabelecer a ordem correta dos planetas a partir do Sol.

O modelo proposto por Copérnico, um grande tratado matemático, ficou pronto em 1530, mas só foi publicado em 1543, ano de sua morte, em um livro chamado De Revolutionibus Orbium Coelestium (“Sobre as Revoluções das Esferas Celestes”). O ajuste não era ainda perfeito porque Copérnico ainda supunha que os planetas se moviam em órbitas circulares - um erro que seria futuramente corrigido por Johannes Kepler (1571-1630). Entre os pontos que Copérnico propôs em seu livro “De Revolutionibus Orbium Coelestium” estão:

• O Sol é o centro do Sistema Solar.
• A Terra e os planetas descrevem órbitas circulares em torno do Sol.
• O dia e a noite resulta da rotação da Terra em torno de seu eixo.
• Mercúrio e Vênus estão mais próximos ao Sol do que a Terra.
• Somente três movimentos da Terra são necessários:
• Rotação diária em torno de seu eixo.
• Revolução anual em torno do Sol.
• Oscilação ou libração da Terra em torno do seu eixo, explicando a precessão dos equinócios.

Copérnico coloca os planetas visíveis a olho nu na sequência correta a partir do Sol, ou seja, Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno. Em 1616 o trabalho de Copérnico “De Revolutionibus” foi banido pela Igreja Católica como heresia. 

Thomas Digges (1543-1595):

Thomas Digges acreditava que a teoria heliocêntrica de Copérnico estava certa. Baseado nisso ele reconheceu que essa esfera de estrelas não era logicamente necessária em um universo onde a Terra tinha um movimento de rotação. Ele então preferiu remover a borda externa do modelo e dispersou as estrelas fixas por todo o espaço não limitado. No entanto, Digges está o tempo todo dominado pela concepção religiosa de um “céu” situado no espaço.

Giordano Bruno (1548-1600):

Giordano Bruno nasceu em Nola, perto de Nápoles, Itália. Ele tornou-se religioso dominicano e estudou a filosofia aristotélica. Atraído pelo pensamento não ortodoxo, Giordano Bruno logo teve que deixar Nápoles, em 1576, e Roma, em 1577, para escapar da Inquisição, indo para a França, onde viveu até 1583. Depois se mudou para Londres onde permaneceu até 1585. Bruno estava vivendo em Londres quando conheceu o livro de Thomas Digges, adotando prontamente as ideias ali contidas, ou seja, a de um Universo sem contorno, e voltou sua atenção para a conclusão lógica, previamente mostrada por Nicholas de Cusa, de que o Universo também não possui centro.

Giordano Bruno procurou desenvolver os ensinamentos de Copérnico de uma maneira filosófica, sendo sua maior contribuição divulgar, com veemência, essas ideias. Ele foi um forte crítico das doutrinas de Aristóteles e Ptolomeu tornando-se um dos grandes defensores das teorias de Demócrito de Abdera (460-370 a.C.) e Epicuro de Samos (341-270 a.C.), rejeitando os ensinamentos de Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.) que diziam que o Universo era finito, além de criticar a ideia de que havia um centro absolutamente determinado no Universo, devendo, por isso, ser considerado o principal representante da doutrina do Universo descentralizado, infinito e infinitamente povoado. Ele não só a apregoou em toda a Europa Ocidental com o fervor de um evangelista como foi o primeiro a formular sistematicamente as razões pelas quais ela, mais tarde, foi aceita pela opinião pública.

Tycho Brahe (1546-1601):

Também chamado Tyge Brahe, este astrônomo dinamarquês, descendente de família nobre, é lembrado principalmente por suas meticulosas observações, feitas com instrumentos que ele mesmo desenhou antes do advento do telescópio. Tycho Brahe observou uma supernova em 1572 tendo publicado um livro sobre este fenômeno em 1573, com o nome “De Nova Stella”, onde mostrava suas observações e concluía que as próprias estrelas podiam mudar. As medições dos brilhos da supernova que ele obteve mostraram, claramente, que ela era um objeto variável. Brahe hesitou muito em escrever este livro porque, naquela época, era considerado impróprio um nobre escrever livros.

Tycho Brahe foi talvez o maior observador de todos os tempos. Ele desenvolveu novos instrumentos e novas técnicas para realizar observações. Kepler usou as observações de Tycho Brahe para deduzir as suas leis das órbitas planetárias. Foi a precisão das observações de Brahe que permitiram que Kepler determinasse corretamente que as órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um dos focos. As medições das posições planetárias feitas por Tycho Brahe estavam em desacordo com o modelo de Ptolomeu. Baseado nisto Brahe, que já era conhecido em toda a Europa, desenvolveu o seu próprio modelo do Sistema Solar no qual o Sol e a Lua estavam em órbita em torno da Terra, mas os planetas restantes estavam em órbita em torno do Sol. Na verdade o modelo de Tycho Brahe era uma modificação geocêntrica do modelo de Copérnico. Seu sistema era inteiramente equivalente ao sistema de Copérnico, no sentido de que os movimentos relativos de todos os corpos celestes (exceto as estrelas) são os mesmos nos dois sistemas. Embora a cosmologia de Tycho Brahe tenha sido logo esquecida, sua grande reputação atual resulta do fato dele ter fornecido as bases observacionais que permitiram Kepler desenvolver a sua pesquisa.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão sobre Gravitação, desta vez abordando as Leis de Kepler. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Momento de Inércia

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Nesta semana finalizamos o assunto de rotações com o conceito de momento de inércia.

Consideremos um disco pequeno de massa $m$ que esta deslizando sem atrito sobre uma mesa horizontal, girando em torno de um ponto $O$ da mesa, ao qual esta ligado por um fio que passa por um furo em $O$ e é puxado verticalmente para baixo com uma força $F$.

A força transmitida para o disco é central, na direção de $O$ de tal forma que o momento angular deve se conservar. A força que está atuando no disco é a força centrípeta, de magnitude $F=mv^{2}/r$, onde $r$ é o raio do círculo descrito pelo movimento.

Figura 01: Disco puxado por um fio

Ao puxar o fio, o raio diminuirá para $r+\Delta r$ ($\Delta r<0$), conforme a figura. Seja $v+\Delta v$ o novo valor da velocidade. Pelo teorema do trabalho e energia, temos para variações infinitesimais

$$\Delta T=\frac{1}{2}m(v+\Delta v)^{2}-\frac{1}{2}mv^{2}\approx mv\Delta v=\Delta W=-\frac{mv^{2}}{r}\Delta r,$$ implicando que

$$-mv\frac{\Delta r}{r}=m\Delta v\longrightarrow mr\Delta v+mv\Delta r=0.$$

O que equivale dizer $$\Delta(mrv)=\Delta l=0.$$

De modo que o momento angular se conserva, como era esperado. Perceba que a velocidade de rotação aumenta conforme $r$ diminui. Como $v=\omega r$, temos

$$l=mvr=mr^{2}\omega=I\omega,$$ onde $I=mr^{2}$ se chama "momento de inércia da partícula em relação ao ponto $O$.

Com isso, temos a energia cinética para essa situação $$T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}r^{2}\longrightarrow T=\frac{1}{2}I\omega^{2}.$$

A conservação do momento angular neste exemplo implica que $I\omega=\text{constante}.$ Ao aproximar a massa $m$ do centro, diminuímos $r$ e , por conseguinte, o momento de inércia $I$; logo $\omega$ tem que aumentar inversamente proporcional a $r^{2}$, por isso na energia cinética aparece $\omega^{2}.$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana iniciaremos o assunto de "Gravitação". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Momento Angular

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando com a discussão sobre rotações, hoje falamos sobre momento angular. Mas, para isso, lembramos primeiro de outro conceito relacionado.

Um conceito importante na dinâmica de uma partícula é o do momento linear $\vec{p}$, relacionado com $\vec{F}$ pela segunda lei de Newton.

Na dinâmica de rotação de um partícula $P$ em torno de um ponto $O$. Temos o torque atuando na rotação definido como $\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$, onde $\vec{r}=\vec{OP}$. Como o momento da partícula está relacionado com $\vec{F}$ pela $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$, obtemos, multiplicando vetorialmente  por $\vec{r}$ ambos os lados,

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}= \vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}.$$ Temos, pela regra do produto das derivadas,

$$\vec{r}\times\frac{\vec{dp}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})-\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p}),$$ como $\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}$ e $\vec{p}=m\vec{v}$, temos que $\vec{v}\times (m\vec{v})=0.$ Logo, obtemos que 

$$\vec{\tau}=\frac{d\vec{l}}{dt},$$ onde $$\vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}$$ é o que se chama de momento angular da partícula em relação ao ponto $O$.

Podemos dizer que o momento angular $\vec{l}$ está para o momento linear $\vec{p}$ assim como o torque $\vec{\tau}$ está para a força $\vec{F}$. Um detalhe a ser levado em conta é a presença do ponto de referência $O$, pois tanto $\vec{\tau}$ quanto $\vec{l}$ variam, em geral, se mudarmos o ponto $O$, de modo que devemos especificar esse ponto.

Perceba que $\vec{r}$ é perpendicular a $\vec{p}=m\vec{v}$, pois $\frac{\vec{dr}}{dt}\perp\vec{r}$, como vocês já viram nas postagens anteriores, mas especificamente em "Movimento Circular Uniforme".

Uma consequência imediata da equação $\vec{\tau}=\frac{d\vec{l}}{dt}$ é a lei de conservação do momento angular de uma partícula

$$\vec{\tau}=0 \rightarrow \vec{l}=\text{constante}.$$

Como o momento angular é um vetor, não apenas seu módulo irá se conservar, mas também a sua direção e sentido.

Para uma partícula sujeita a forças centrais, o torque em relação a convergência das forças centrais $O$ é nulo, e consequentemente o momento angular se conserva.

A primeira implicação não trivial deste resultado é que o movimento é plano, ou seja, a órbita de uma partícula sob ação de forças centrais permanece no mesmo plano por todo tempo.

Consideremos agora uma porção infinitesimal de uma trajetória correspondente a um deslocamento $\vec{dr}$ a partir de um ponto $P.$ Neste deslocamento o raio $\vec{r}$ percorre uma área indicada na figura, cujo seu valor é dado por

$$dA=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\vec{dr}\vert.$$

Esta área é a metade da área do paralelogramo formado pelos vetores $\vec{r}$ e $\vec{dr}$.

A taxa de variação com o tempo da área varrida pelo raio, que se chama de velocidade areolar, é dado por

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt}\vert=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\vec{v}\vert=\frac{1}{2m}\vert\vec{r}\times\vec{p}\vert=\frac{\vert\vec{l}\vert}{2m},$$ ou seja, a velocidade areolar é diretamente proporcional à magnitude do momento angular.

Figura 01: Área percorrida

Uma curiosidade interessante. No movimento sob a ação de forças centrais, $\vec{l}$ se conserva, de modo que a velocidade areolar é constante. Assim, o raio vetor que liga a partícula ao centro de forças descreve áreas iguais em tempos iguais. Como a gravitação é uma força central, veremos que a segunda lei de Kepler nada mais é que a lei de conservação do momento angular.

Mais uma curiosidade. Quando um planeta está no periélio a sua velocidade $v_{p}$ é maior que a velocidade no afélio $v_{a}$, e isso é mostrado na lei de conservação do momento angular, ou seja,

$$\vert\vec{l}\vert=mv_{p}r_{p}=mv_{a}r_{a} \longrightarrow \frac{v_{p}}{v_{a}}=\frac{r_{a}}{r_{p}}.$$

Você deve esta se perguntando "e o seno do ângulo entre os vetores $\vec{r}$ e $\vec{v}$?" lembre-se que o ângulo entre esses vetores é um ângulo reto.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Momento de Inércia". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Referencial Acelerado e Forças de Inércia

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje finalizamos nossa discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais.

Considere um movimento de $S'$ uniformemente acelerado com relação a $S$.

Pela figura abaixo, o vetor posição $\vec{r^{'}}$ de um ponto $P$ em relação a $S'$ está relacionado com $\vec{r}$ correspondente em $S$ por

$$\vec{r^{'}}=\vec{r}-\vec{r_{0^{'}}}.$$

Forças inerciais

Se $\vec{A}$ é a aceleração do MRUV de $S'$ em relação a $S$ e $\vec{V_{0}}$ é a velocidade inicial, supondo que $\vec{r_{0^{'}}}=0$ quando $t=0$, a equação da posição em relação ao tempo vista no movimento retilíneo uniformemente variado é dada por

$$\vec{r_{0^{'}}}=\vec{V_{0}}t+\frac{1}{2}\vec{A}t^{2}.$$

De modo que 

$$\vec{r^{'}}=\vec{r}-\vec{V_{0}}t-\frac{1}{2}\vec{A}t^{2},$$

suponto sempre que $t'=t$. 

Derivando em relação ao tempo, obtemos a transformação das velocidades:

$$\vec{v^{'}}=\vec{v}-\vec{V_{0}}-\vec{A}t.$$

Derivando em relação ao tempo, obtemos a transformação das velocidades:

$$\vec{a^{'}}=\vec{a}-\vec{A},$$

lembre-se que $\vec{A}$ é constante, ou seja, a aceleração de uma partícula em relação a $S'$ difere de sua aceleração em relação a $S$ pelo termo constante $-\vec{A}$.

A cada instante a transformação é uma translação espacial de modo que, se você pegar uma outra partícula $H$, a distância entre $H$ e $P$ MUTUAMENTE não se altera. Portanto, para as forças de interação entre partículas, temos:

$$\vec{F^{'}}=\vec{F}= m\vec{a},$$ porém, temos pelas nossas considerações que $\vec{a}\ne\vec{a'}\longrightarrow \vec{a}=\vec{a'}+\vec{A}$, de modo que

$$\vec{F'}=m\vec{a'}+m\vec{A}.$$

Portanto, a 2ª lei de Newton não é válida em um referencial não-inercial $S'$, em movimento retilíneo uniformemente acelerado em relação a um referencial inercial $S$. Aparece um novo termo proporcional a massa inercial e com dimensões de uma força, porém tal força não corresponde a nenhuma força física, resultante da interação entre as partículas. Está força, $\vec{F^{*}}=m\vec{A}$, se chama "força de inércia".

E é isso aí, pessoal. Com esta postagem finalizamos o conteúdo visto na disciplina de Física I na faculdade. Continuaremos com nossas postagens abordando outros assuntos de Física no futuro. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

A Transformação de Galileu

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje iniciamos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais, mas para entender a diferença entre referenciais inerciais e não-inerciais, precisamos primeiro entender como mudar de um referencial para outro.

Até aqui você sempre utilizou as leis da mecânica para referenciais inerciais, ou seja, referenciais que estão relativamente parados e/ou movimento retilíneo uniforme. Um referencial deve ser visualizado como algo concreto: por exemplo, um sistema cartesiano de eixos, que podem ser tomadas de comprimento unitário, para medir as coordenadas, e algo para medir o tempo, como um relógio.

O problema a ser tratado é a passagem de um referencial inercial, designado por $S$, para um referencial não-inercial $S'$, onde $S'$ está em movimento em relação a $S$.

Considerando, primeiramente, o caso em que $S'$ se move em relação a $S$ com movimento retilíneo uniforme de velocidade $V$ na direção $x$. Neste caso, a lei da inércia é válida para $S'$.

A relação entre as coordenadas de um ponto $P$ em um dado instante $t$ (vamos supor que os referenciais coincidem no instante inicial) em $S'$ e $S$ é baseada na seguinte hipótese: o movimento retilíneo uniforme não afeta as distâncias, ou melhor ainda, não afeta as unidades de comprimento empregadas para medir as coordenadas.

Nestas condições, conforme mostra a figura abaixo, a transformação de Galileu de $S$ para $S'$ consiste, no instante $t$, na translação espacial $vt$ ao longo de $x$:

$$x'=x-Vt$$

$$y'=y$$

$$z'=z$$

$$t=t'$$

Essa transformação é conhecida como "transformação de Galileu espacial".

Transformação de Galileu

As equações acima mostram, imediatamente por derivação, as leis de movimento para esta transformação. Perceba que a derivada segunda de $x'$, ou seja, $\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=a_{x}'$ é igual a $a_{x}$ (aceleração no eixo $x$ em relação ao referencial $S$). Mostrando que as componentes da aceleração não se alteram.

A extensão das equações de movimento para o caso geral, em que $S'$ se move em relação a $S$ com MRU em qualquer direção do espaço, é dada substituindo a forma escalar por vetores. Assim, as equações de movimento são:

$$\vec{x^{'}}=\vec{x}-\vec{V}t$$

$$\vec{v^{'}}=\vec{v}-\vec{V}$$

$$\vec{a^{'}}=\vec{a}$$

$$t=t'$$

Talvez você esteja se perguntando "e as leis de Newton? como que fica a 2ª lei de Newton no referencial $S'$?". Novamente se faz uma hipótese, que perdurou bastante tempo até Einstein chamar a atenção sobre tal hipótese, a saber, que a massa inercial de uma partícula em relação a $S'$ é a mesma que em $S$: $m'=m$

Todas as equações acima implicam que, em $S'$, a 2ª lei de Newton tem a forma $$\vec{F^{'}}=m'\vec{a^{'}}$$

ou seja, tem a mesma forma que em $S$, o que exprime que a 2ª lei de Newton é covariante por transformação de Galileu.

Como a 2ª lei de Newton é o principio fundamental da dinâmica, podemos dizer que as leis da mecânica Newtoniana são as mesmas em qualquer referencial inercial. Mas isso é um caso particular.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão, desta vez "Referenciais Não-Inerciais e Forças de Inércia". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

Um Pouco da História da Gravitação

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje iniciamos a discussão sobre Gravitação. Nesta postagem abordaremos o pensamento de alguns filósofos sobre o Universo, parando na Idade Média. Nas próximas postagens continuaremos a discussão. 

É importante frisar o desenvolvimento dos modelos do sistema solar, que para à época foi o universo inteiro.

O pensamento no Império Romano

A época mais brilhante da história da ciência ocidental, antes do século XVII, foi o período da civilização helenística. Muitas realizações científicas da época moderna dificilmente teriam ocorrido sem as descobertas dos filósofos gregos. Quando a filosofia grega se fundiu com a ciência já conhecida dos caldeus e egípcios houve um grande estímulo ao desenvolvimento intelectual. Outro fator de desenvolvimento científico foi o novo interesse do povo grego pelo conforto, levando-o à procura de conhecimentos práticos capazes de solucionar os problemas do dia a dia. E esse conhecimento exigia o desenvolvimento da astronomia, física e matemática. Ao mesmo tempo em que a civilização grega florescia também crescia a civilização romana. Em 265 a.C. Roma já havia conquistado e anexado toda a Itália. Logo Roma envolveu-se nas chamadas guerras púnicas com a cidade-estado Cartago derrotando-a totalmente (após três guerras) em 146 a.C. Como o rei da Macedônia havia sido aliado de Cartago, Roma invadiu e ocupou toda a Grécia.

Roma certamente sofreu uma grande influência da civilização helenística, mas várias partes da cultura grega não foram adotadas pelos romanos. No entanto, o epicurismo e o estoicismo dos gregos foram adotados por muitos romanos das classes mais elevadas. O mais famoso epicurista romano foi Tito Lucrécio Caro (98-~55 a.C.), cujo poema didático “Da Natureza das Coisas” procurava explicar o Universo de forma a libertar o ser humano do medo do sobrenatural, que ele considerava o principal obstáculo à obtenção da paz de espírito. Lucrécio dizia que os mundos, e todas as coisas contidas neles, eram resultados fortuitos de inúmeras combinações de átomos. O estoicismo foi introduzido em Roma por Panécio de Rodes (185-100 a.C.) aproximadamente no ano 140 a.C. Seu mais ilustre representante foi Marco Túlio Cícero (106-43 a.C.), um dos maiores pensadores de Roma.  

Com o desenvolvimento do Cristianismo passamos a viver em um mundo inequivocamente teocêntrico. Esse teocentrismo é garantido pela evolução e estruturação de uma nova instituição que soube chegar ao poder: a Igreja Católica. Com a sua criação tudo muda no mundo civilizado ocidental. Aos poucos a Igreja deixa de se concentrar no domínio religioso e estende sua influência a todos os domínios da vida europeia. A Igreja passa a ditar as regras do convívio social, econômico, artístico, cultural e, porque não, político. Com o acúmulo de enorme poder, nada mais natural que a Igreja passasse a ter como ponto principal conservá-lo. Isso fez com que surgisse um vergonhoso totalitarismo religioso: a Igreja decretou que suas “verdades” não estavam sujeitas a critica e quem as desafiasse, mesmo que isso fosse apenas discutir o que era considerado sagrado pela Igreja, teria se confrontar com os guardiões da fé, a famigerada Inquisição.

Hipátia (Hipácia) de Alexandria (370-415):

Hipátia (ou Hipácia; em grego: Υπατία, Ypatía) de Alexandria foi uma matemática e filósofa neoplatônica, nascida em 370 e assassinada em 415. O fato de Hipátia ser uma filósofa pagã (num meio predominantemente cristão) é tido como um dos fatores que contribuíram para o seu assassinato. Porém, estudos mais recentes, como o da historiadora Maria Dzielska, salientam que Hipátia foi assassinada por razões políticas, no contexto da luta pelo poder em Alexandria. 

“Hipátia distinguiu-se na matemática, na astronomia, na física e foi ainda responsável pela escola de filosofia neoplatônica - uma extraordinária diversificação de atividades para qualquer pessoa daquela época. Nasceu em Alexandria em 370, numa época em que as mulheres tinham poucas oportunidades e eram tratadas como objetos. Hipátia moveu-se livremente e sem problemas nos domínios que pertenciam tradicionalmente aos homens. Segundo todos os testemunhos, era de grande beleza. Tinha muitos pretendentes mas rejeitou todas as propostas de casamento. A Alexandria do tempo de Hipátia - então desde há muito sob o domínio romano - era uma cidade onde se vivia sob grande pressão. A escravidão tinha retirado à civilização clássica a sua vitalidade, a Igreja Cristã consolidava-se e tentava dominar a influência e a cultura pagãs.” (Carl Sagan, série: cosmos, 1980)

O Universo na Idade Média

Por volta do ano 1000 d.C. os modelos do Universo consideravam que a Terra estava no centro de tudo e que o céu era uma tampa com buracos. A luz proveniente de fogos ardendo no lado de fora brilharia através dos buracos e alcançaria a Terra como a luz das estrelas. A Figura mostra como era a visão do Universo por volta do ano 1000 d.C. Em resumo, a Cosmologia da Idade Média tem as seguintes características:

• A ciência grega tinha estabelecido que Terra era o apex (o ponto mais alto) do Universo em um sentido físico.
• A Igreja institucional elaborou um significado desta interpretação nas Sagradas Escrituras e adotou o esquema de Ptolomeu.
• Abaixo da Terra estava o inferno, evidenciado pelos vapores abrasadores que é lançado pelos vulcões.
• Acima estavam sete esferas nas quais, o Sol e os planetas giram em torno da Terra. 
• A oitava esfera era uma abóbada imóvel sobre a qual as estrelas se penduravam como lâmpadas.
• A nona, ou esfera cristalina, era a residência dos santos. 
• Acima de tudo, na esfera número dez, estava a residência de Deus Todo Poderoso, chamada Paraíso ou Firmamento.
• Esta teoria de cosmologia tendeu a ser cada vez mais aceita como fato.

O universo por volta do ano 1000 d.C.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão sobre Gravitação, desta vez abordando as especulações desenvolvidas durante o período da Renascença. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Gravitação Universal

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje finalizaremos a discussão sobre Gravitação com a Lei da Gravitação Universal de Newton. 

Gravitação Universal

Isaac Newton nasceu em 1642, no dia do natal, foi um matemático e físico (descrito em seus dias como um "filósofo natural"), onde é amplamente reconhecido como um dos cientistas mais influentes de todos os tempos e como uma figura-chave na Revolução Científica. Seu livro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), publicado pela primeira vez em 1687, lançou as bases da mecânica clássica. Newton também fez contribuições seminais à óptica e compartilha crédito com Gottfried Wilhelm Leibniz pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal, também desenvolveu o cálculo integral.

Em Principia, Newton formulou as leis do movimento e da gravitação universal que criaram o ponto de vista científico dominante até serem substituídas pela teoria da relatividade de Albert Einstein. Newton usou sua descrição matemática da gravidade para provar as leis de movimento planetário de Kepler, erradicando a dúvida sobre a heliocentricidade do Sistema Solar. Demonstrou que o movimento dos objetos na Terra e nos corpos celestes poderia ser explicado pelos mesmos princípios. 

A excentricidade das órbitas elípticas dos planetas eram pequenas demais, de modo que podemos tomar a órbita como circular, com muito boa aproximação.

Órbita circular

Para uma órbita circular, a 2ª lei de Kepler implica que o movimento é uniforme. Neste caso, a aceleração é centrípeta, e é dada, para uma órbita circular de raio $R$ e de velocidade angular $\omega=2\pi/T$, onde $T$ é o período, por

$$\vec{a}=-\omega^{2}R\hat{r}=-4\pi^{2}\frac{R}{T^{2}}\hat{r},$$ onde $\hat{r}$ é o vetor unitário na direção radial. Se $m$ é a massa do planeta, a força que atua sobre ele é dado pela 2ª lei de Newton

$$\vec{F}=m\vec{a}=-4\pi^{2}m\frac{R}{T^{2}}\hat{r}.$$ Perceba que é uma força atrativa.

Pela 3ª lei de Kepler, temos $\frac{R^{3}}{T^{2}}=C=\text{constante}$. Portanto podemos escrever a expressão acima como

$$\vec{F}=-4\pi C\frac{m}{R^{2}}\hat{r}.$$

Vemos assim que a 3ª lei de Kepler leva a conclusão de que a força gravitacional caí com o quadrado da distância entre os corpos. A equação acima também mostra que a força é proporcional à massa do planeta. Pela 3ª lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária sobre o sol, a qual deve também ser proporcional à massa $M$ do sol. Portanto, a lei da gravitação universal é expressa por

$$\vec{F}=-G\frac{mM}{R^{2}}\hat{r},$$ onde $G$ chama-se constante universal e tem seu valor aproximadamente como $6,6739\times10^{-11}$Nm$^{2}$/kg$^{2}$, característica da força gravitacional.

Talvez você esteja se perguntando como que se obtém a constante gravitacional. Bom, a primeira experiência elaborada com este fim foi feito por Henry Cavendish em 1798. Este experimento consiste em um par de esferas de massa $m$, nas extremidades de uma barra, onde é suspenso pelo centro da barra por uma fibra fina em uma posição de equilíbrio, a figura a seguir representa este experimento.

Experimento para se obter a constante gravitacional

Trazem-se então outras duas esferas de massa $M$ à mesma distância das esferas de massa $m$, o que produz um torque, pelas forças gravitacionais entre cada par de esferas. Esse torque faz girar a barra de um angulo $\theta$, produzindo uma torção correspondente da fibra, que é calibrada de forma a poder medir o torque, e conseguinte as forças gravitacionais, pelo ângulo de torção. Este ângulo é medido através de um desvio de um feixe de luz refletido por um espelho preso no fio (alavanca ótica).

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem iniciaremos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Torque

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando com o tratamento das rotações, tratando hoje da dinâmica das rotações, vamos utilizar esta analogia para procurar uma grandeza que faça um papel análogo ao da força. Uma forma de definir força no movimento linear é utilizando o conceito de trabalho $\Delta W$, ou seja, $\Delta W=\vert\vec{F}\vert\Delta x.$

O análogo de $F$ para a rotação seria então uma grandeza $\tau$ tal que $$\Delta W=\tau\Delta\theta$$ corresponda ao trabalho realizado em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta.$

Considere uma haste rígida girando em torno de um ponto fixo $O$ sob ação de uma força $F$ aplicada no ponto $P$, à distância $r$ do ponto $O$. A força $F$ faz um ângulo $\varphi$ com a extensão do segmento $\vec{OP}=\vec{r}$. Em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta$, o ponto $P$ sofre um deslocamento $\vec{PP^{'}}$ que se confunde com a tangente ao círculo com centro em $O$ e raio $r$ no ponto $P$, sendo portanto perpendicular à direção de $\vec{r}$. Portanto a projeção de $\vec{F}$ em $\vec{PP^{'}}$ é $$\vert\vec{F}\vert\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\varphi\bigg)=\vert\vec{F}\vert\sin(\varphi),$$ e sabendo que para um deslocamento angular infinitesimal $\Delta\theta$, $\vert\vec{PP^{'}}\vert$ se confunde com o arco de círculo com centro em $O$ e raio $r$. Portanto, temos que a magnitude do deslocamento do ponto de aplicação é $\vert\vec{PP^{'}}\vert\approx\vert\vec{r}\vert\Delta\theta,$ de modo que o trabalho ao longo deste deslocamento é 

$$\Delta W=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}\Delta\theta.$$

Figura 01: Haste em rotação

Perceba, que ao comparar $\Delta W=\tau\Delta\theta$ com o resultado acima, concluímos que

$$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$$ deve ser o análogo de $F$ para rotações em torno de $O.$

O resultado obtido acima, pode ser reescrito de duas maneiras, que destacam propriedades distintas.

1ª - Decompondo $\vec{F}$ em suas componentes $\vec{F}_{//},$ paralelo à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\cos{\varphi},$ e $\vec{F_{\perp}}$, perpendicular à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\sin{\varphi}.$ Assim, $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}=\vert\vec{F_{\perp}}\vert\vert\vec{r}\vert.$$ Mostrando que somente a componente perpendicular da força é eficaz na produção do giro. É meio obvio, pois a componente paralela da força exerce uma tração (ou compressão, dependendo do sentido) sobre o apoio fixo.

Figura 02: Componentes da força

Podemos reescrever ainda como $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r_{\perp}}\vert,$$ onde $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}.$

Perceba que $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vec{OQ}$ é a distancia da linha de ação $PQ$ da força no ponto $O.$ Está distância chama-se "braço de alavanca da força. É intuitivo que quanto maior for o braço da alavanca mais eficaz a força se torna em produzir a rotação.

Por isso que a maçaneta de uma porta é instalada o mais longe possível do eixo, pois assim poupamos esforço (aplicamos menos força).

Figura 03: Braço de alavanca

Vamos revisar um conceito importante para uma das definições de torque antes de demonstrar a segunda forma de reescrever a definição de torque.

O produto vetorial

O produto vetorial $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$ de dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ é o vetor definido por 

$$\vert\vec{c}\vert=\vert\vec{a}\vert\times \vert\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin{\varphi},$$ onde a direção do vetor $\vec{c}$ é perpendicular aos outros vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, o seu sentido é determinado pela ordem do produto vetorial, tal que no caso acima, visto da extremidade de $\vec{c}$, $\vec{a}$ gira aproximando-se de $\vec{b}$ no sentido anti-horário.

Note que a magnitude de $\vert\vec{c}\vert$ é também a área (paralelogramo) formada pelos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, conforme indicado na figura.

Como o sentido de rotação de $\vec{a}$ para $\vec{b}$ é oposto ao de $\vec{b}$ para $\vec{a}$, temos $$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b\times\vec{a}},$$ ou seja, o produto vetorial é anti-comutativo. Outras propriedades você pode encontrar em livros-textos de álgebra linear, recomendo "Álgebra Linear" de Steinbruch e Alfredo.

Figura 04: Produto vetorial

A grandeza $\tau$ foi introduzida como análoga à magnitude $\vert\vec{F}\vert$ de uma força, porém sabemos que na realidade a força é um vetor. Por outro lado, o ângulo formado por $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$ gera um plano delimitado pelos vetores. Assim, podemos definir o torque como um produto vetorial entre $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$, "dando" ao torque propriedades de um vetor. Portanto, comparando com $\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$, temos a ordem do produto vetorial como sendo

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.$$

A direção e o sentido de $\vec{\tau}$ têm um significado físico importante para a rotação. No exemplo da haste (Figura 4.2) que gira num plano (o plano formado por $\vec{r}$ e $\vec{F}$), $\vec{\tau}$ é perpendicular ao plano e paralelo ao eixo de rotação. Por outro lado, visto da extremidade de $\vec{\tau}$, a rotação tem lugar no sentido anti-horário. Caso $\vec{F}$ tivesse o sentido contrário, $\vec{F'}=-\vec{F}$, o sentido de $\vec{\tau}$ se inverte ($\vec{\tau'}=-\vec{\tau}$), e o sentido de rotação também se inverte.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Momento Angular". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Rotações

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Nesta semana iniciamos o assunto de "Rotações". Como o assunto é relativamente longo e complexo, dividiremos em várias partes, cada uma cobrindo parte do assunto. Hoje trataremos do conceito de corpo rígido e da cinemática da rotação.

Começamos nossa discussão da rotação definindo as variáveis do movimento, como fizemos para a translação. As variáveis do movimento de rotação são análogas às do movimento unidimensional, e uma situação especial importante é aquela na qual a aceleração (neste caso, a aceleração angular) é constante. É possível escrever uma equação equivalente à segunda lei de Newton para o movimento de rotação, usando uma grandeza chamada torque no lugar da força. O teorema do trabalho e energia cinética também pode ser aplicado ao movimento de rotação, com a massa substituída por uma grandeza chamada momento de inércia.

Um corpo rígido corresponde a um conceito limite ideal de um corpo indeformável quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas. Um corpo é rígido quando as distâncias entre dois pontos internos quaisquer do corpo é invariável.

Se fixarmos dois pontos $A$ e $B$ de um corpo rígido, isto equivale a fixar todos os pontos da reta definida por $AB$, pois todos eles têm de manter inalteradas suas distâncias de $A$ e de $B$. Qualquer ponto fora da reta $AB$, mas interna no corpo, tem de se manter inalterada sua distância ao eixo $AB$, de modo que só pode descrever um círculo com centro nesse eixo. Logo, $AB$ é um eixo de rotação: todos os pontos descrevem círculos com centro no eixo, e giram de um mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo.

Figura 01: Configuração de um sistema que gira

A figura 01 mostra uma reta de referência, fixa ao corpo, perpendicular ao eixo de rotação e girando com o corpo. A posição angular da reta é o ângulo que a reta faz com uma direção fixa, que tomamos como a posição angular zero. Ainda na figura 01, a posição angular $\theta$ é medida em relação ao semieixo $x$ positivo. De acordo com a geometria, $\theta$ é dado por $$\theta=s/r (\text{em radianos}).$$

Aqui, $s$ é comprimento de um arco de circunferência que vai do eixo $x$ (posição angular zero) até a reta de referência, e $r$ é o raio da circunferência. 

Um ângulo definido dessa forma é medido em radianos (rad) e não em revoluções (rev) ou em graus, pois como é a razão entre dois comprimentos, o radiano é um número puro, ou seja, não tem dimensão. 

Do ponto de vista cinemático, o movimento de rotação se reduz ao movimento circular de um ponto $P$ do corpo numa secção transversal. Como há um só grau de liberdade, o ângulo de rotação $\theta$ em torno do eixo, podemos estabelecer uma analogia entre o movimento de rotação e o movimento unidimensional. Nessa analogia, temos a seguinte correspondência entre grandezas lineares e angulares.

$$(\text{Deslocamento linear})= x\longleftrightarrow \theta =(\text{Deslocamento angular})$$

$$(\text{Velocidade linear})= v=\frac{dx}{dt}\longleftrightarrow \omega=\frac{d\theta}{dt}=(\text{Velocidade angular})$$

$$(\text{Aceleração linear})= a=\frac{dv}{dt}\longleftrightarrow \alpha=\frac{d\omega}{dt}=(\text{Aceleração angular})$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Torque". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.