Momento de Inércia

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Nesta semana finalizamos o assunto de rotações com o conceito de momento de inércia.

Consideremos um disco pequeno de massa $m$ que esta deslizando sem atrito sobre uma mesa horizontal, girando em torno de um ponto $O$ da mesa, ao qual esta ligado por um fio que passa por um furo em $O$ e é puxado verticalmente para baixo com uma força $F$.

A força transmitida para o disco é central, na direção de $O$ de tal forma que o momento angular deve se conservar. A força que está atuando no disco é a força centrípeta, de magnitude $F=mv^{2}/r$, onde $r$ é o raio do círculo descrito pelo movimento.

Figura 01: Disco puxado por um fio

Ao puxar o fio, o raio diminuirá para $r+\Delta r$ ($\Delta r<0$), conforme a figura. Seja $v+\Delta v$ o novo valor da velocidade. Pelo teorema do trabalho e energia, temos para variações infinitesimais

$$\Delta T=\frac{1}{2}m(v+\Delta v)^{2}-\frac{1}{2}mv^{2}\approx mv\Delta v=\Delta W=-\frac{mv^{2}}{r}\Delta r,$$ implicando que

$$-mv\frac{\Delta r}{r}=m\Delta v\longrightarrow mr\Delta v+mv\Delta r=0.$$

O que equivale dizer $$\Delta(mrv)=\Delta l=0.$$

De modo que o momento angular se conserva, como era esperado. Perceba que a velocidade de rotação aumenta conforme $r$ diminui. Como $v=\omega r$, temos

$$l=mvr=mr^{2}\omega=I\omega,$$ onde $I=mr^{2}$ se chama "momento de inércia da partícula em relação ao ponto $O$.

Com isso, temos a energia cinética para essa situação $$T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}r^{2}\longrightarrow T=\frac{1}{2}I\omega^{2}.$$

A conservação do momento angular neste exemplo implica que $I\omega=\text{constante}.$ Ao aproximar a massa $m$ do centro, diminuímos $r$ e , por conseguinte, o momento de inércia $I$; logo $\omega$ tem que aumentar inversamente proporcional a $r^{2}$, por isso na energia cinética aparece $\omega^{2}.$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana iniciaremos o assunto de "Gravitação". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.