Momento Angular

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando com a discussão sobre rotações, hoje falamos sobre momento angular. Mas, para isso, lembramos primeiro de outro conceito relacionado.

Um conceito importante na dinâmica de uma partícula é o do momento linear $\vec{p}$, relacionado com $\vec{F}$ pela segunda lei de Newton.

Na dinâmica de rotação de um partícula $P$ em torno de um ponto $O$. Temos o torque atuando na rotação definido como $\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$, onde $\vec{r}=\vec{OP}$. Como o momento da partícula está relacionado com $\vec{F}$ pela $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$, obtemos, multiplicando vetorialmente  por $\vec{r}$ ambos os lados,

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}= \vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}.$$ Temos, pela regra do produto das derivadas,

$$\vec{r}\times\frac{\vec{dp}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})-\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p}),$$ como $\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}$ e $\vec{p}=m\vec{v}$, temos que $\vec{v}\times (m\vec{v})=0.$ Logo, obtemos que 

$$\vec{\tau}=\frac{d\vec{l}}{dt},$$ onde $$\vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}$$ é o que se chama de momento angular da partícula em relação ao ponto $O$.

Podemos dizer que o momento angular $\vec{l}$ está para o momento linear $\vec{p}$ assim como o torque $\vec{\tau}$ está para a força $\vec{F}$. Um detalhe a ser levado em conta é a presença do ponto de referência $O$, pois tanto $\vec{\tau}$ quanto $\vec{l}$ variam, em geral, se mudarmos o ponto $O$, de modo que devemos especificar esse ponto.

Perceba que $\vec{r}$ é perpendicular a $\vec{p}=m\vec{v}$, pois $\frac{\vec{dr}}{dt}\perp\vec{r}$, como vocês já viram nas postagens anteriores, mas especificamente em "Movimento Circular Uniforme".

Uma consequência imediata da equação $\vec{\tau}=\frac{d\vec{l}}{dt}$ é a lei de conservação do momento angular de uma partícula

$$\vec{\tau}=0 \rightarrow \vec{l}=\text{constante}.$$

Como o momento angular é um vetor, não apenas seu módulo irá se conservar, mas também a sua direção e sentido.

Para uma partícula sujeita a forças centrais, o torque em relação a convergência das forças centrais $O$ é nulo, e consequentemente o momento angular se conserva.

A primeira implicação não trivial deste resultado é que o movimento é plano, ou seja, a órbita de uma partícula sob ação de forças centrais permanece no mesmo plano por todo tempo.

Consideremos agora uma porção infinitesimal de uma trajetória correspondente a um deslocamento $\vec{dr}$ a partir de um ponto $P.$ Neste deslocamento o raio $\vec{r}$ percorre uma área indicada na figura, cujo seu valor é dado por

$$dA=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\vec{dr}\vert.$$

Esta área é a metade da área do paralelogramo formado pelos vetores $\vec{r}$ e $\vec{dr}$.

A taxa de variação com o tempo da área varrida pelo raio, que se chama de velocidade areolar, é dado por

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt}\vert=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\vec{v}\vert=\frac{1}{2m}\vert\vec{r}\times\vec{p}\vert=\frac{\vert\vec{l}\vert}{2m},$$ ou seja, a velocidade areolar é diretamente proporcional à magnitude do momento angular.

Figura 01: Área percorrida

Uma curiosidade interessante. No movimento sob a ação de forças centrais, $\vec{l}$ se conserva, de modo que a velocidade areolar é constante. Assim, o raio vetor que liga a partícula ao centro de forças descreve áreas iguais em tempos iguais. Como a gravitação é uma força central, veremos que a segunda lei de Kepler nada mais é que a lei de conservação do momento angular.

Mais uma curiosidade. Quando um planeta está no periélio a sua velocidade $v_{p}$ é maior que a velocidade no afélio $v_{a}$, e isso é mostrado na lei de conservação do momento angular, ou seja,

$$\vert\vec{l}\vert=mv_{p}r_{p}=mv_{a}r_{a} \longrightarrow \frac{v_{p}}{v_{a}}=\frac{r_{a}}{r_{p}}.$$

Você deve esta se perguntando "e o seno do ângulo entre os vetores $\vec{r}$ e $\vec{v}$?" lembre-se que o ângulo entre esses vetores é um ângulo reto.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Momento de Inércia". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.