Torque

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando com o tratamento das rotações, tratando hoje da dinâmica das rotações, vamos utilizar esta analogia para procurar uma grandeza que faça um papel análogo ao da força. Uma forma de definir força no movimento linear é utilizando o conceito de trabalho $\Delta W$, ou seja, $\Delta W=\vert\vec{F}\vert\Delta x.$

O análogo de $F$ para a rotação seria então uma grandeza $\tau$ tal que $$\Delta W=\tau\Delta\theta$$ corresponda ao trabalho realizado em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta.$

Considere uma haste rígida girando em torno de um ponto fixo $O$ sob ação de uma força $F$ aplicada no ponto $P$, à distância $r$ do ponto $O$. A força $F$ faz um ângulo $\varphi$ com a extensão do segmento $\vec{OP}=\vec{r}$. Em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta$, o ponto $P$ sofre um deslocamento $\vec{PP^{'}}$ que se confunde com a tangente ao círculo com centro em $O$ e raio $r$ no ponto $P$, sendo portanto perpendicular à direção de $\vec{r}$. Portanto a projeção de $\vec{F}$ em $\vec{PP^{'}}$ é $$\vert\vec{F}\vert\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\varphi\bigg)=\vert\vec{F}\vert\sin(\varphi),$$ e sabendo que para um deslocamento angular infinitesimal $\Delta\theta$, $\vert\vec{PP^{'}}\vert$ se confunde com o arco de círculo com centro em $O$ e raio $r$. Portanto, temos que a magnitude do deslocamento do ponto de aplicação é $\vert\vec{PP^{'}}\vert\approx\vert\vec{r}\vert\Delta\theta,$ de modo que o trabalho ao longo deste deslocamento é 

$$\Delta W=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}\Delta\theta.$$

Figura 01: Haste em rotação

Perceba, que ao comparar $\Delta W=\tau\Delta\theta$ com o resultado acima, concluímos que

$$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$$ deve ser o análogo de $F$ para rotações em torno de $O.$

O resultado obtido acima, pode ser reescrito de duas maneiras, que destacam propriedades distintas.

1ª - Decompondo $\vec{F}$ em suas componentes $\vec{F}_{//},$ paralelo à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\cos{\varphi},$ e $\vec{F_{\perp}}$, perpendicular à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\sin{\varphi}.$ Assim, $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}=\vert\vec{F_{\perp}}\vert\vert\vec{r}\vert.$$ Mostrando que somente a componente perpendicular da força é eficaz na produção do giro. É meio obvio, pois a componente paralela da força exerce uma tração (ou compressão, dependendo do sentido) sobre o apoio fixo.

Figura 02: Componentes da força

Podemos reescrever ainda como $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r_{\perp}}\vert,$$ onde $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}.$

Perceba que $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vec{OQ}$ é a distancia da linha de ação $PQ$ da força no ponto $O.$ Está distância chama-se "braço de alavanca da força. É intuitivo que quanto maior for o braço da alavanca mais eficaz a força se torna em produzir a rotação.

Por isso que a maçaneta de uma porta é instalada o mais longe possível do eixo, pois assim poupamos esforço (aplicamos menos força).

Figura 03: Braço de alavanca

Vamos revisar um conceito importante para uma das definições de torque antes de demonstrar a segunda forma de reescrever a definição de torque.

O produto vetorial

O produto vetorial $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$ de dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ é o vetor definido por 

$$\vert\vec{c}\vert=\vert\vec{a}\vert\times \vert\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin{\varphi},$$ onde a direção do vetor $\vec{c}$ é perpendicular aos outros vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, o seu sentido é determinado pela ordem do produto vetorial, tal que no caso acima, visto da extremidade de $\vec{c}$, $\vec{a}$ gira aproximando-se de $\vec{b}$ no sentido anti-horário.

Note que a magnitude de $\vert\vec{c}\vert$ é também a área (paralelogramo) formada pelos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, conforme indicado na figura.

Como o sentido de rotação de $\vec{a}$ para $\vec{b}$ é oposto ao de $\vec{b}$ para $\vec{a}$, temos $$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b\times\vec{a}},$$ ou seja, o produto vetorial é anti-comutativo. Outras propriedades você pode encontrar em livros-textos de álgebra linear, recomendo "Álgebra Linear" de Steinbruch e Alfredo.

Figura 04: Produto vetorial

A grandeza $\tau$ foi introduzida como análoga à magnitude $\vert\vec{F}\vert$ de uma força, porém sabemos que na realidade a força é um vetor. Por outro lado, o ângulo formado por $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$ gera um plano delimitado pelos vetores. Assim, podemos definir o torque como um produto vetorial entre $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$, "dando" ao torque propriedades de um vetor. Portanto, comparando com $\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$, temos a ordem do produto vetorial como sendo

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.$$

A direção e o sentido de $\vec{\tau}$ têm um significado físico importante para a rotação. No exemplo da haste (Figura 4.2) que gira num plano (o plano formado por $\vec{r}$ e $\vec{F}$), $\vec{\tau}$ é perpendicular ao plano e paralelo ao eixo de rotação. Por outro lado, visto da extremidade de $\vec{\tau}$, a rotação tem lugar no sentido anti-horário. Caso $\vec{F}$ tivesse o sentido contrário, $\vec{F'}=-\vec{F}$, o sentido de $\vec{\tau}$ se inverte ($\vec{\tau'}=-\vec{\tau}$), e o sentido de rotação também se inverte.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Momento Angular". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.