Gravitação Universal

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje finalizaremos a discussão sobre Gravitação com a Lei da Gravitação Universal de Newton. 

Gravitação Universal

Isaac Newton nasceu em 1642, no dia do natal, foi um matemático e físico (descrito em seus dias como um "filósofo natural"), onde é amplamente reconhecido como um dos cientistas mais influentes de todos os tempos e como uma figura-chave na Revolução Científica. Seu livro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), publicado pela primeira vez em 1687, lançou as bases da mecânica clássica. Newton também fez contribuições seminais à óptica e compartilha crédito com Gottfried Wilhelm Leibniz pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal, também desenvolveu o cálculo integral.

Em Principia, Newton formulou as leis do movimento e da gravitação universal que criaram o ponto de vista científico dominante até serem substituídas pela teoria da relatividade de Albert Einstein. Newton usou sua descrição matemática da gravidade para provar as leis de movimento planetário de Kepler, erradicando a dúvida sobre a heliocentricidade do Sistema Solar. Demonstrou que o movimento dos objetos na Terra e nos corpos celestes poderia ser explicado pelos mesmos princípios. 

A excentricidade das órbitas elípticas dos planetas eram pequenas demais, de modo que podemos tomar a órbita como circular, com muito boa aproximação.

Órbita circular

Para uma órbita circular, a 2ª lei de Kepler implica que o movimento é uniforme. Neste caso, a aceleração é centrípeta, e é dada, para uma órbita circular de raio $R$ e de velocidade angular $\omega=2\pi/T$, onde $T$ é o período, por

$$\vec{a}=-\omega^{2}R\hat{r}=-4\pi^{2}\frac{R}{T^{2}}\hat{r},$$ onde $\hat{r}$ é o vetor unitário na direção radial. Se $m$ é a massa do planeta, a força que atua sobre ele é dado pela 2ª lei de Newton

$$\vec{F}=m\vec{a}=-4\pi^{2}m\frac{R}{T^{2}}\hat{r}.$$ Perceba que é uma força atrativa.

Pela 3ª lei de Kepler, temos $\frac{R^{3}}{T^{2}}=C=\text{constante}$. Portanto podemos escrever a expressão acima como

$$\vec{F}=-4\pi C\frac{m}{R^{2}}\hat{r}.$$

Vemos assim que a 3ª lei de Kepler leva a conclusão de que a força gravitacional caí com o quadrado da distância entre os corpos. A equação acima também mostra que a força é proporcional à massa do planeta. Pela 3ª lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária sobre o sol, a qual deve também ser proporcional à massa $M$ do sol. Portanto, a lei da gravitação universal é expressa por

$$\vec{F}=-G\frac{mM}{R^{2}}\hat{r},$$ onde $G$ chama-se constante universal e tem seu valor aproximadamente como $6,6739\times10^{-11}$Nm$^{2}$/kg$^{2}$, característica da força gravitacional.

Talvez você esteja se perguntando como que se obtém a constante gravitacional. Bom, a primeira experiência elaborada com este fim foi feito por Henry Cavendish em 1798. Este experimento consiste em um par de esferas de massa $m$, nas extremidades de uma barra, onde é suspenso pelo centro da barra por uma fibra fina em uma posição de equilíbrio, a figura a seguir representa este experimento.

Experimento para se obter a constante gravitacional

Trazem-se então outras duas esferas de massa $M$ à mesma distância das esferas de massa $m$, o que produz um torque, pelas forças gravitacionais entre cada par de esferas. Esse torque faz girar a barra de um angulo $\theta$, produzindo uma torção correspondente da fibra, que é calibrada de forma a poder medir o torque, e conseguinte as forças gravitacionais, pelo ângulo de torção. Este ângulo é medido através de um desvio de um feixe de luz refletido por um espelho preso no fio (alavanca ótica).

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem iniciaremos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.