A Transformação de Galileu

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje iniciamos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais, mas para entender a diferença entre referenciais inerciais e não-inerciais, precisamos primeiro entender como mudar de um referencial para outro.

Até aqui você sempre utilizou as leis da mecânica para referenciais inerciais, ou seja, referenciais que estão relativamente parados e/ou movimento retilíneo uniforme. Um referencial deve ser visualizado como algo concreto: por exemplo, um sistema cartesiano de eixos, que podem ser tomadas de comprimento unitário, para medir as coordenadas, e algo para medir o tempo, como um relógio.

O problema a ser tratado é a passagem de um referencial inercial, designado por $S$, para um referencial não-inercial $S'$, onde $S'$ está em movimento em relação a $S$.

Considerando, primeiramente, o caso em que $S'$ se move em relação a $S$ com movimento retilíneo uniforme de velocidade $V$ na direção $x$. Neste caso, a lei da inércia é válida para $S'$.

A relação entre as coordenadas de um ponto $P$ em um dado instante $t$ (vamos supor que os referenciais coincidem no instante inicial) em $S'$ e $S$ é baseada na seguinte hipótese: o movimento retilíneo uniforme não afeta as distâncias, ou melhor ainda, não afeta as unidades de comprimento empregadas para medir as coordenadas.

Nestas condições, conforme mostra a figura abaixo, a transformação de Galileu de $S$ para $S'$ consiste, no instante $t$, na translação espacial $vt$ ao longo de $x$:

$$x'=x-Vt$$

$$y'=y$$

$$z'=z$$

$$t=t'$$

Essa transformação é conhecida como "transformação de Galileu espacial".

Transformação de Galileu

As equações acima mostram, imediatamente por derivação, as leis de movimento para esta transformação. Perceba que a derivada segunda de $x'$, ou seja, $\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=a_{x}'$ é igual a $a_{x}$ (aceleração no eixo $x$ em relação ao referencial $S$). Mostrando que as componentes da aceleração não se alteram.

A extensão das equações de movimento para o caso geral, em que $S'$ se move em relação a $S$ com MRU em qualquer direção do espaço, é dada substituindo a forma escalar por vetores. Assim, as equações de movimento são:

$$\vec{x^{'}}=\vec{x}-\vec{V}t$$

$$\vec{v^{'}}=\vec{v}-\vec{V}$$

$$\vec{a^{'}}=\vec{a}$$

$$t=t'$$

Talvez você esteja se perguntando "e as leis de Newton? como que fica a 2ª lei de Newton no referencial $S'$?". Novamente se faz uma hipótese, que perdurou bastante tempo até Einstein chamar a atenção sobre tal hipótese, a saber, que a massa inercial de uma partícula em relação a $S'$ é a mesma que em $S$: $m'=m$

Todas as equações acima implicam que, em $S'$, a 2ª lei de Newton tem a forma $$\vec{F^{'}}=m'\vec{a^{'}}$$

ou seja, tem a mesma forma que em $S$, o que exprime que a 2ª lei de Newton é covariante por transformação de Galileu.

Como a 2ª lei de Newton é o principio fundamental da dinâmica, podemos dizer que as leis da mecânica Newtoniana são as mesmas em qualquer referencial inercial. Mas isso é um caso particular.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão, desta vez "Referenciais Não-Inerciais e Forças de Inércia". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.