Movimento

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

A partir da postagem de hoje, iniciaremos o tópico de cinemática, ou seja, o estudo de como descrever o movimento de um corpo matemáticamente, sem se preocupar com as forças que provocam tal movimento.

Conceitos Iniciais

Para descrever um movimento, temos que definir alguns conceitos de grande importância: referencial, velocidade média, velocidade instantânea e aceleração média e instantânea.

Um referencial é algo subjetivo, na qual é onde as observações de fenômenos diversos são feitas. Ao mudar o referencial, a percepção dos fenômenos também muda. O referencial pode ser entendido como o ponto de vista de um observador colocado em determinado lugar no espaço. No caso unidimensional mais simples, é simplesmente a Reta, ou seja, é um conjunto ordenado de pontos, onde ela é representada geometricamente como uma linha reta.

A velocidade média é definida, usando coordenadas cartesianas (unidimensional) e t como parâmetro para o tempo, como 

$$v_{méd}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{1}-x_{2}}{t_{1}-t_{2}},$$ onde $x_{i}=x(t_{i})$ para $i=\{1,2\}$. Aqui, não nos interessa qual a velocidade entre o caminho $x(t)$, ou seja, entre os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$, apenas interessa os extremos (os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$).

Um instante é algo momentâneo, algo que se dá em um intervalo de tempo extremamente pequeno. Então, a velocidade instantânea é tal onde se tem $\Delta t\rightarrow0$. Se você conhece os conceitos básicos de cálculo, já deve ter percebido que a velocidade instantânea é dada pela derivada da função $x(t)$ em relação ao tempo; lembre-se que $\Delta t\rightarrow0$ implica $\Delta x\rightarrow0$, mas o quociente $\Delta x/\Delta t$ tende a um número finito. Portanto, a definição de velocidade instantânea é dado por 

$$v_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left[\frac{x(t_{0}+\Delta t)-x(t_{0})}{\Delta t}\right]=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{t=t_{0}}=\left(\frac{d(x(t))}{dt}\right)_{t=t_{0}},$$ onde $t_{0}$ é apenas um ponto fixo entre o caminho $x(t)$ (entre os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$).

Há outras definições que são obtidas a partir das definições de velocidade média e instantânea, são elas: aceleração média e instantânea. Em linhas gerais, o raciocínio para se chegar a essas definições é o mesmo da velocidade. Temos que a aceleração média e instantânea é dada por

$$a_{méd}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{1}-v_{2}}{t_{1}-t_{2}}$$ e 

$$a_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left[\frac{v(t_{0}+\Delta t)-v(t_{0})}{\Delta t}\right]=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{t=t_{0}}=\left(\frac{d(v(t))}{dt}\right)_{t=t_{0}}.$$

Percebe-se que se a aceleração é função do tempo $a(t)$, então a variação da velocidade entre dois instantes é definida como 

$$v(t_{1})-v(t_{2})=\int_{t_{2}}^{t_{1}} a(t)dt.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem falaremos sobre "Equações do Movimento". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[3] Piórichkine A.V.; Ródina N.A. FÍSICA 1. U.R.S.S., 1984. 366 pág. Editora: Mir. Moscovo.