Movimento Circular Uniforme

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

O movimento circular uniforme é um movimento bidimensional (plano), em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade instantânea é constante, de modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempos iguais. Temos assim um movimento periódico, em que o período corresponde ao tempo levado para descrever uma volta completa.

Suponha que uma partícula esteja girando, correspondente a um sistema cartesiano com origem no centro do círculo, figura 1, com as condições especificadas no parágrafo anterior. Em um instante, dado a posição de uma partícula como P, vemos que sua posição é definida em termos de $\theta$, entre o vetor deslocamento $\vec{r}=\vec{OP}$ e o eixo $Ox$, onde $\theta$ é positivo no sentido anti-horário. Lembrando que $\theta$ é medido em radianos.

Figura 1: Movimento circular

Vamos introduzir dois vetores unitários $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$, onde $\hat{r}$ está na direção de $\vec{r}$, e $\hat{\theta}$ é tangente ao círculo em P, orientado na direção de $\theta>0$, e portanto perpendicular a $\vec{r}$.

Pelas condições do movimento circular uniforme, a lei horária do movimento é

$$s(t)=s_{0}+v(t-t_{0}),$$ onde $s=\vert\vec{r}\vert\theta$. Pela definição de $s$, $s_{0}$ é o valor do arco no instante inicial $t_{0}$ e $v$ é a velocidade com a qual o arco $s$ é descrito.

Lembrando da definição de velocidade, variação do deslocamento pela variação no tempo, temos que a velocidade instantânea é dada por $v=\vert\vec{v}\vert=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta s}{\Delta t}\bigg)=\frac{ds}{dt}$, porém quando $\Delta t\rightarrow0$ implica na extrema aproximação de $\vert\Delta \vec{r}\vert$ com $\Delta s$. Portanto, se $\vert\vec{r}(t)\vert = c$ (uma constante), então $\vec{r^{'}}(t)=\frac{dr}{dt}$ é ortogonal a $\vec{r}(t)$ para todo t. Uma vez que

$$\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)=\vert\vec{r}(t)\vert^{2}=c^{2},$$ pela regra do produto (derivação de um produto) temos

$$\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)+\vec{r}(t)\cdot\vec{r^{'}}(t)=2\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t),$$ mas como $\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=0$. Obtemos por fim que

$$\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)=0 \Longrightarrow \vec{r^{'}}\bot\vec{r}.$$

Por consequência disto, a velocidade instantânea $\vec{v}$ é tangente ao círculo no ponto P, pois no limite $\Delta t\rightarrow0$, $\vert\Delta \vec{r}\vert$ se confunde com $\Delta s$.

Como $\vec{v}$ é tangente, temos então $\vert\vec{v}\vert=v\hat{\theta}$.

Figura 2: Vetor velocidade de uma partícula

O período $T$ é o tempo levado para descrever uma volta completa, ou seja

$$T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}.$$

Chama-se de frequência o número de rotações por unidade de tempo, e é definido como o inverso do período $f=\frac{1}{T}.$

Empregando $s=\vert\vec{r}\vert\theta$ em $s(t)=s_{0}+v(t-t_{0})$, obtemos uma expressão da lei horária em termos do ângulo $\theta$ descrito em função do tempo:

$$\theta(t)=\theta_{0}+\omega(t-t_{0}),$$ onde $$\omega=\vert\vec{v}\vert/\vert\vec{r}\vert,$$ chama-se velocidade angular. Percebe-se que a velocidade cresce linearmente com o tempo, ou seja, $\vert\vec{v}\vert=\omega\vert\vec{r}\vert$; o que faz sentindo pois na "circunferência mais externa", a partícula deve percorrer um arco $s$ maior, e como tem de se manter os arcos de círculo iguais em tempos iguais, deve-se aumentar o módulo da velocidade (em todo o arco de circulo, pois em círculos diferentes ela mudará).

Substituindo $T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}$ em $\omega=v/\vert\vec{r}\vert$, obtemos $$\vert\omega\vert=\frac{2\pi}{T}=2\pi f.$$

Figura 3: Vetores velocidade e aceleração

A fig. 3 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento circular uniforme. O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da circunferência. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de aceleração centrípeta (“que busca o centro”).

Há vários jeitos de se alcançar a expressão da aceleração no movimento circular uniforme. Vamos apresentar o jeito que acreditamos ser o mais didático possível.

Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme, considere a fig. 4. Na fig. 5 a partícula $p$ se move com velocidade escalar constante enquanto percorre uma circunferência de raio $\vert\vec{r}\vert=r$. No instante mostrado, as coordenadas de $p$ são $x_{p}$ e $y_{p}$.

Como vimos anteriormente, a velocidade de uma partícula em movimento é sempre tangente à trajetória da partícula na posição considerada. Na fig. 4, isso significa que $\vec{v}$ é perpendicular a uma reta $r$ que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo $\theta$ que $\vec{v}$ faz com uma reta paralela ao eixo $y$ passando pelo ponto $p$ é igual ao ângulo $\theta$ que o raio $r$ faz com o eixo $x$.

As componentes escalares de $\vec{v}$ são mostradas na fig. 5. Em termos dessas componentes, a velocidade pode ser escrita na forma

$$\vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}=(-v\sin{\theta})\vec{i}+(v\cos{\theta})\vec{j}.$$

Usando o triângulo retângulo da fig. 4, podemos substituir $\sin{\theta}$ por $y_{p}/r$ e $\cos{\theta}$ por $x_{p}/r$ e escrever

$$\vec{v}=-\frac{vy_{p}}{r}\vec{i}+\frac{vx_{p}}{r}\vec{j}.$$

Para determinar a aceleração $\vec{a}$ da partícula em $p$, devemos calcular a derivada de $\vec{v}$ em relação ao tempo. Observando que a velocidade escalar $v$ e o raio $r$ não variam com o tempo, obtemos

$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\bigg(-\frac{v}{r}\frac{dy_{p}}{dt}\bigg)\vec{i}+\bigg(\frac{v}{r}\frac{dx_{p}}{dt}\bigg)\vec{j}.$$

Note que a taxa de variação com o tempo de $y_{p}$ é igual à componente $y$ da velocidade, $v_{y}$. Analogamente, $dx_{p}/dt = v_{x}$, e, novamente de acordo com a fig. 5, $v_{x} = –v \sin{\theta}$ e $v_{y} = v \cos{\theta}$.

Fazendo essas substituições na equação de $\vec{a}$, obtemos

$$\vec{a}=\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}\bigg)\vec{i}+\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}\bigg)\vec{j}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}.$$

Esse vetor e suas componentes aparecem na fig. 6. Portanto, o tamanho do vetor $\vec{a}$ dá o valor escalar da aceleração. Então

$$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\frac{v^{2}}{r}\sqrt{(\cos{\theta})^{2}+(\sin{\theta})^{2}}=\frac{v^{2}}{r}.$$

Para determinar a orientação de $\vec{a}$, basta calcularmos o ângulo $\theta_{6}$ (ângulo relacionado a fig. 6):

$$\tan{\theta_{6}}=\frac{a_{y}}{a_{x}}=\frac{-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}}{-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\tan{\theta} \longrightarrow \theta_{6}=\theta.$$ O que significa que $\vec{a}$ aponta na direção do raio $r$ da fig. 4.