Leis de Newton

 Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

As tentativas de entender as causas e consequências do movimento dos corpos, assim como as interações entre eles foram questões que intrigaram o ser humano por uma grande parte da história. Aristóteles, grande filósofo grego e detentor de um grande conhecimento, acreditava que, dois corpos em queda livre caindo de uma mesma altura chegam ao chão em tempos diferentes, onde o objeto de maior massa chega ao solo mais rapidamente que o de menor massa. Além disso, acreditava que todo corpo fora de sua posição natural "tendia" a voltar, o explicaria o fato dos corpos caírem em queda livre. Também acreditava que a causa do movimento (quando se empurra uma caixa, por exemplo) seria aquilo que chamava de "força bruta" exercida sobre o corpo.

Porém, todas as ideias de Aristóteles eram baseada em conhecimentos do senso comum, mas a ciência ultrapassa suas fronteiras quando surge na Itália o Pai da ciência moderna, Galileu Galilei, mostrando uma nova forma de afirmar e demonstrar os fenômenos observados, onde a base era à experimentação. Tal método deu início a toda a contrução científica atual, a "ciência moderna". Galileu deu início aos estudos do movimento, mostrando suas causas e consequências.

Alguns meses posteriores a morte de Galileu, nasce na Inglaterra aquele que seria um dos maiores gênios da história da ciência, Sir Isaac Newton. Seus trabalhos sobre o movimento dos corpos contemplaram toda uma história e alcançaram horizontes jamais imaginados pela humanidade, nos fornecendo conhecimentos necessários para o engrandecimento. Têm-se como objetivo discorrer e debater acerca das três leis de movimento de Newton.

As leis de Newton

As leis de Newton são responsáveis por descrever as causas e consequências do movimentos.

Primeira Lei de Newton

Galileu defendia que tudo deveria ser provado de maneira experimental. Em umas das histórias sobre suas façanhas, Galileu subiu ao topo da Torre de Pisa (cidade onde nasceu) e de lá soltou objetos dos mais variados tamanhos e pesos, no qual acreditava que tais corpos chegariam ao chão em tempos iguais. Naqueles tempos, tais ideias contrariavam veementemente os pensamentos predominantes, mas é claro que a genialidade do homem não fora abatido.

Em um de seus experimentos, Galileu percebeu que, ao lançar uma bola em um plano inclinado com orientação vertical para cima, como na figura 1,

Figura 1: Bola subindo em um caminho inclinado.

percebeu que a bola perde velocidade até chegar em uma determinada altura limite. Inversamente, percebeu que ao jogar uma objeto (neste caso, consideramos a bola) em um plano inclinado para baixo, a velocidade aumenta, observe  nas figuras 1 e 2.

Figura 2: Bola descendo em um caminho inclinado.

Figura 3: Experimento de Galileu.

Assim, Galileu notou que, ao lançar a bola de determinada altura de um dos lados da rampa, como na Figura 3, esta chegava na mesma altura do outro lado da rampa, independente do ângulo de inclinação considerado. Também percebeu que, quanto menor o atrito nas rampas, maior era a precisão desta distância alcançada, com a bola alcançando aproximadamente a mesma altura que fora largada nas extremidades da rampa.

Figura 4: Plano sem inclinação.

Naturalmente, pensou que se não houvesse inclinação e atrito, como na figura 4, então o movimento poderia ser infinito, sem ação de forças externas. Desta forma, a ideia da primeira lei de Newton é vista da seguinte forma

Na ausência de forças externas em um sistema dinâmico, o corpo em velocidade constante mantém-se constante, enquanto um corpo em repouso permanece em repouso.

Esta ideia primordial viria a ser complementada e estruturada por Isaac Newton.  

Segunda lei de Newton: Lei Fundamental da dinâmica 

Para enunciar a segunda lei de Newton, alguns conceitos físicos básicos devem ser entendidos.

Inércia e massa - suas relações

Em linhas gerais, a inércia é uma propriedade da matéria que resiste a alteração no movimento. A pergunta que se faz naturalmente é: "O quanto cada corpo é capaz de se opor a alteração de movimento". Neste caso, a massa está estritamente ligada a esse fenômeno, pois quanto maior a massa do corpo, maior será sua resistência a alteração do seu momento dinâmico. E quando sofre aceleração, o que podemos dizer sobre? Acompanhe no próximo tópico.

Força

Força é uma grandeza vetorial, geralmente representada por uma seta, e representa a interação entre dois ou mais corpos.

Relação entre massa, força e aceleração

A massa é uma propriedade que exibe a quantidade de matéria presente em um corpo e, como fora dito anteriormente, está relacionada com a inércia. Para produzir aceleração, é necessário que a força aplicada sobre o corpo vença a inércia e as forças que se opõe ao sentido da força aplicada, tendo mais aceleração quanto maior sua intensidade e menor proporcionalmente, assim como a aceleração aumenta quanto menor for a massa e vice-versa (uma vez que está inteiramente ligada com a inércia). Logo, podemos concluir que a aceleração é diretamente proporcional a força aplicada e inversamente proporcional a massa do corpo.

$$\textrm{aceleração} = \frac{\textrm{forca}}{\textrm{massa}}$$

Enunciado

Depois de toda a discussão acima, podemos afirmar que

A aceleração de um corpo é diretamente proporcional a força aplicada e inversamente proporcional a massa do corpo

Matematicamente, a equação que representa a segunda lei de Newton é 

$$a = \frac{F}{m} \textrm{ ou } F = ma$$

Tendo em vista tais fatos, podemos também enunciar a segunda lei de Newton da seguinte forma: 

Quando as forças externas em um sistema não se anulam, o movimento será na direção da força resultante

Matematicamente falando, temos

$$\sum F \neq 0 $$

então o movimento será dado na direção da força resultante e terá módulo

$$F = ma$$

Terceira lei de Newton

A terceira lei de Newton estabelece uma lei de "ação" e "reação" na interação entre dois ou mais corpos. Em síntese, quando um corpo interage outro, sempre terá uma força contrária a força aplicada e de mesmo módulo. A terceira lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma. Segundo [1]:

Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro são iguais e módulos e sentidos opostos.

Uma pergunta natural que se faz nesse momento é: "Se esta lei é válida, então todas as forças na interação entre dois corpos sempre se anulam e nunca teremos movimento?"

A partir dessa ideia, temos a ideia de sistema, ou seja, o movimento depende do sistema considerado, pois forças externas são capazes de alterar o movimento, mas forças internas sempre se anulam, então segue da primeira lei de Newton. Todavia, ainda não falamos de sistema, não é? A ideia é que apenas dois sistemas distintos podem interagir um com o outro a ponto de que eles influenciem no resultado final de seu movimento, em outras palavras, quando considerado dois corpos aplicando uma força um com o outro, haverá movimento se a força aplicada em um dos corpos for superior a inércia do outro.

Figura 5: Empurrando uma caixa, enquanto esta caixa exerce uma força de mesmo módulo, mas sentido contrário. Por se tratarem de sistemas diferentes e a força aplicada pela mão for externa ao sistema da caixa, ele entrará em movimento quando a força da mão vencer a inércia e as forças dissipativas presentes. Fonte: Denis, blog biologia total, 2019.

Exemplos

Figura 6: Nesta situação do homem realizando flexão, ele encontra-se em situação de equilíbrio, pois empurra o chão na mesma intensidade que o chão o empurra. Fonte: Blog do professor Ferreto, 2020.

Figura 7: Nesse caso, o foguete empurra o gás através de suas turbinas enquanto o gás expelido empurra o foguete em sentido contrário, o que possibilita o seu lançamento. Fonte: Denis, blog biologia total, 2019.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Conservação do Momento". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Hewitt, Paul G.; Física conceitual; 12ª edição. Editora: Bookman. Porto Alegre, 2015.

Movimento Circular Uniforme

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

O movimento circular uniforme é um movimento bidimensional (plano), em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade instantânea é constante, de modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempos iguais. Temos assim um movimento periódico, em que o período corresponde ao tempo levado para descrever uma volta completa.

Suponha que uma partícula esteja girando, correspondente a um sistema cartesiano com origem no centro do círculo, figura 1, com as condições especificadas no parágrafo anterior. Em um instante, dado a posição de uma partícula como P, vemos que sua posição é definida em termos de $\theta$, entre o vetor deslocamento $\vec{r}=\vec{OP}$ e o eixo $Ox$, onde $\theta$ é positivo no sentido anti-horário. Lembrando que $\theta$ é medido em radianos.

Figura 1: Movimento circular

Vamos introduzir dois vetores unitários $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$, onde $\hat{r}$ está na direção de $\vec{r}$, e $\hat{\theta}$ é tangente ao círculo em P, orientado na direção de $\theta>0$, e portanto perpendicular a $\vec{r}$.

Pelas condições do movimento circular uniforme, a lei horária do movimento é

$$s(t)=s_{0}+v(t-t_{0}),$$ onde $s=\vert\vec{r}\vert\theta$. Pela definição de $s$, $s_{0}$ é o valor do arco no instante inicial $t_{0}$ e $v$ é a velocidade com a qual o arco $s$ é descrito. 

Lembrando da definição de velocidade, variação do deslocamento pela variação no tempo, temos que a velocidade instantânea é dada por $v=\vert\vec{v}\vert=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta s}{\Delta t}\bigg)=\frac{ds}{dt}$, porém quando $\Delta t\rightarrow0$ implica na extrema aproximação de $\vert\Delta \vec{r}\vert$ com $\Delta s$. Portanto, se $\vert\vec{r}(t)\vert = c$ (uma constante), então $\vec{r^{'}}(t)=\frac{dr}{dt}$ é ortogonal a $\vec{r}(t)$ para todo t. Uma vez que

$$\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)=\vert\vec{r}(t)\vert^{2}=c^{2},$$ pela regra do produto (derivação de um produto) temos

$$\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)+\vec{r}(t)\cdot\vec{r^{'}}(t)=2\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t),$$ mas como $\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=0$. Obtemos por fim que

$$\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)=0 \Longrightarrow \vec{r^{'}}\bot\vec{r}.$$

Por consequência disto, a velocidade instantânea $\vec{v}$ é tangente ao círculo no ponto P, pois no limite $\Delta t\rightarrow0$, $\vert\Delta \vec{r}\vert$ se confunde com $\Delta s$.

Como $\vec{v}$ é tangente, temos então $\vert\vec{v}\vert=v\hat{\theta}$.

Figura 2: Vetor velocidade de uma partícula

O período $T$ é o tempo levado para descrever uma volta completa, ou seja 

$$T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}.$$

Chama-se de frequência o número de rotações por unidade de tempo, e é definido como o inverso do período $f=\frac{1}{T}.$

Empregando $s=\vert\vec{r}\vert\theta$ em $s(t)=s_{0}+v(t-t_{0})$, obtemos uma expressão da lei horária em termos do ângulo $\theta$ descrito em função do tempo:

$$\theta(t)=\theta_{0}+\omega(t-t_{0}),$$ onde $$\omega=\vert\vec{v}\vert/\vert\vec{r}\vert,$$ chama-se velocidade angular. Percebe-se que a velocidade cresce linearmente com o tempo, ou seja, $\vert\vec{v}\vert=\omega\vert\vec{r}\vert$; o que faz sentindo pois na "circunferência mais externa", a partícula deve percorrer um arco $s$ maior, e como tem de se manter os arcos de círculo iguais em tempos iguais, deve-se aumentar o módulo da velocidade (em todo o arco de circulo, pois em círculos diferentes ela mudará).

Substituindo $T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}$ em $\omega=v/\vert\vec{r}\vert$, obtemos $$\vert\omega\vert=\frac{2\pi}{T}=2\pi f.$$

Figura 3: Vetores velocidade e aceleração

A fig. 3 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento circular uniforme. O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da circunferência. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de aceleração centrípeta (“que busca o centro”).

Há vários jeitos de se alcançar a expressão da aceleração no movimento circular uniforme. Vamos apresentar o jeito que acreditamos ser o mais didático possível.

Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme, considere a fig. 4. Na fig. 5 a partícula $p$ se move com velocidade escalar constante enquanto percorre uma circunferência de raio $\vert\vec{r}\vert=r$. No instante mostrado, as coordenadas de $p$ são $x_{p}$ e $y_{p}$.

Como vimos anteriormente, a velocidade de uma partícula em movimento é sempre tangente à trajetória da partícula na posição considerada. Na fig. 4, isso significa que $\vec{v}$ é perpendicular a uma reta $r$ que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo $\theta$ que $\vec{v}$ faz com uma reta paralela ao eixo $y$ passando pelo ponto $p$ é igual ao ângulo $\theta$ que o raio $r$ faz com o eixo $x$.

As componentes escalares de $\vec{v}$ são mostradas na fig. 5. Em termos dessas componentes, a velocidade pode ser escrita na forma

$$\vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}=(-v\sin{\theta})\vec{i}+(v\cos{\theta})\vec{j}.$$

Usando o triângulo retângulo da fig. 4, podemos substituir $\sin{\theta}$ por $y_{p}/r$ e $\cos{\theta}$ por $x_{p}/r$ e escrever

$$\vec{v}=-\frac{vy_{p}}{r}\vec{i}+\frac{vx_{p}}{r}\vec{j}.$$

Para determinar a aceleração $\vec{a}$ da partícula em $p$, devemos calcular a derivada de $\vec{v}$ em relação ao tempo. Observando que a velocidade escalar $v$ e o raio $r$ não variam com o tempo, obtemos

$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\bigg(-\frac{v}{r}\frac{dy_{p}}{dt}\bigg)\vec{i}+\bigg(\frac{v}{r}\frac{dx_{p}}{dt}\bigg)\vec{j}.$$

Note que a taxa de variação com o tempo de $y_{p}$ é igual à componente $y$ da velocidade, $v_{y}$. Analogamente, $dx_{p}/dt = v_{x}$, e, novamente de acordo com a fig. 5, $v_{x} = –v \sin{\theta}$ e $v_{y} = v \cos{\theta}$.

Fazendo essas substituições na equação de $\vec{a}$, obtemos

$$\vec{a}=\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}\bigg)\vec{i}+\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}\bigg)\vec{j}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}.$$

Esse vetor e suas componentes aparecem na fig. 6. Portanto, o tamanho do vetor $\vec{a}$ dá o valor escalar da aceleração. Então

$$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\frac{v^{2}}{r}\sqrt{(\cos{\theta})^{2}+(\sin{\theta})^{2}}=\frac{v^{2}}{r}.$$

Para determinar a orientação de $\vec{a}$, basta calcularmos o ângulo $\theta_{6}$ (ângulo relacionado a fig. 6):

$$\tan{\theta_{6}}=\frac{a_{y}}{a_{x}}=\frac{-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}}{-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\tan{\theta} \longrightarrow \theta_{6}=\theta.$$ O que significa que $\vec{a}$ aponta na direção do raio $r$ da fig. 4.

Figura 4: Sistema do movimento

Figura 5: Componentes da velocidade

Figura 6: Componentes da aceleração

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "As leis de Newton". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Novo episódio do podcast Centauro Mental - Física no teatro

Foi lançado o novo episódio do podcast Centauro Mental, de título "Física no teatro".

Neste episódio do podcast Centauro Mental, conversamos sobre o papel da física no teatro e sobre experiências que tivemos envolvendo esta arte.

O episódio pode ser escutado no anchor.fm ou no Spotify.

Movimento Bidimensional

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando a discussão sobre cinemática das últimas semanas, hoje falamos sobre movimento em mais de uma dimensão, generalizando o tema da semana passada.

O movimento unidimensional que vimos anteriormente é um caso particular de uma classe mais ampla de movimentos que ocorrem em duas ou três dimensões. Se o movimento de um corpo está completamente restrito a um plano, ele é denominado movimento bidimensional. Neste caso, a posição é especificada através de coordenadas polares $(r, \theta)$ ou cartesianas $(x, y)$.

Para movimentos planos, as grandezas cinemáticas: posição $r$ (dado pelo ponto $(x,y)$), velocidade $v$ e aceleração $a$, não são necessariamente paralelas como acontece no movimento unidimensional. Desta forma, é de importância fundamental tratar estas grandezas vetorialmente. Assim, todas as grandezas até então definidas serão tratadas como vetores

$$\vec{v}_{méd}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$

$$\vec{v}_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\bigg)_{t=t_{0}},$$ onde $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}$ é um vetor de posição relativo a um referencial qualquer.

$$\vec{a}_{méd}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$

$$\vec{a}_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\bigg)_{t=t_{0}}.$$

A variação temporal de um vetor pode ser analisada através da variação temporal de suas componentes, da forma:  $$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}\Longrightarrow\vec{v}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}.$$ Lembre-se, os vetores unitários $\vec{i}$ e $\vec{j}$ não variam com o tempo.

Uma prática muito recorrente é a de decompor vetores, isto é útil, pois permite analisar o movimento independentemente. Por exemplo, $$\vec{v}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j},$$ ou seja, a velocidade na direção $x$ só depende da variação da coordenada $x$ com o tempo, e a mesma coisa pode ser dita para a velocidade na direção $y$. Por isso, as equações do movimento retilíneo uniforme, ou uniformemente variado, podem ser utilizados no movimento bidimensional, pois tratamos tal movimento como sendo uma composição de outros dois movimentos. Por exemplo, no caso do lançamento de projéteis (desprezando a resistência do ar, ou tudo que atrapalhe o movimento), levando como referencial um plano cartesiano, temos uma composição de dois movimentos retilíneos, um acelerado através do eixo $y$ e outro uniforme na direção do eixo $x$. Por tanto, as equações destes dois movimentos são "renovados" com um caráter vetorial.

Um caso importante de movimento plano é aquele onde temos: $\vec{a}=-g\vec{j}$ (aceleração da gravidade)  que corresponde ao movimento de um corpo atirado de maneira arbitrária. Neste caso, o movimento será acelerado na direção $y$ e não acelerado nas demais. Vamos imaginar a situação em que o corpo é lançado obliquamente de maneira a formar um ângulo θ com a superfície, como mostrado na figura.

Lançamento de um projétil

Tomando-se o eixo $x$ paralelo à superfície e o eixo $y$ na vertical, a velocidade inicial $v_{0}$ pode ser decomposta em $v_{x}= v_{0} \cos{\theta}$ e $v_{y} = v_{0} \sin{\theta} $ . Na direção $x$ não existe aceleração, porém na direção $y$ temos $a_{y} = -g$ de modo que temos: 

$$\begin{cases}v_{x}(t)=v_{0}\cos{\theta}\\x(t)=x_{0}+v_{x}t=x_{0}+v_{0}\cos{\theta}t \end{cases}$$

e

$$\begin{cases}v_{y}(t)=v_{y}-gt=v_{0}\sin{\theta}-gt\\y(t)=y_{0}+v_{y}t-\frac{1}{2}gt^{2} \end{cases}$$

Eliminando-se o tempo do primeiro conjunto de equações $(t=\frac{x-x_{0}}{v_{x}} )$ e substituindo no segundo obtemos:  $$y=y_{0}+v_{y}\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}}\bigg)-\frac{1}{2}g\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}}\bigg)^{2}.$$ Que representa uma trajetória parabólica. A altura máxima pode ser calculada tomando-se $dy/dx = 0$. Portanto $$\frac{v_{y}}{v_{x}}-g\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}^{2}}\bigg)=0\Longrightarrow x=x_{max}=x_{0}+\bigg(\frac{v_{x}v_{y}}{g}\bigg)$$ e substituindo em $y(t)$ obtemos a expressão para a altura máxima atingida na trajetória: $$y=y_{max}=y_{0}+\frac{1}{2}\frac{v_{y}^{2}}{g}.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Movimento Circular Uniforme". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Piórichkine A.V.; Ródina N.A. FÍSICA 1. U.R.S.S., 1984. 366 pág. Editora: Mir. Moscovo.

Equações do Movimento

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando a discussão da semana passada sobre cinemática, hoje falaremos sobre as equações do movimento em si, ou seja, como descrever matematicamente o movimento. Nesta semana falaremos sobre movimento unidimensional e na próxima sobre movimento bidimensional.

Percebe-se que $x(t)$ não tem uma expressão definida, subentendendo que o caminho pode ser qualquer, porém vamos nos limitar a situações que envolvem velocidade e aceleração constante.

Movimento uniforme

Aquelas situações com velocidade constante e trajetória linear são denominadas de movimento retilíneo uniforme, de tal forma que utilizando a definição de velocidade obtemos a expressão horária da trajetória, ou seja, com $$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{1}-x_{2}}{t_{1}-t_{2}},$$ onde $x_{i}=x(t_{i})$. 

Tomando $t_{1}$ como um instante $t$ qualquer e $t_{2}$ como um tempo inicial fixo $t_{0}$, implicando em uma posição inicial fixa $x(t_{0})=x_{0}$, obtemos uma expressão que dá a posição em qualquer instante de tempo $t$ 

$$x_{0}+v(t-t_{0})=x(t).$$

Lembrando que $v$ é constante (independente do tempo), ou seja, $v=\frac{dx}{dt}=c$, onde $c$ é uma constante. Gerando o gráfico de uma reta: 

$$c(t-t_{0})+x_{0}=x(t).$$

Movimento uniformemente acelerado

Agora trataremos de um movimento especial. Um movimento retilíneo chama-se uniformemente acelerado quando a aceleração instantânea é constante (independente do tempo): $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=c$. Nesta situação também há uma expressão horária que determina a trajetória e mais, a velocidade em função do tempo tem como gráfico uma reta. Para mostrar a dependência da velocidade no tempo, considere um movimento durante um intervalo de tempo $[t_{0},t]$, onde $t_{0}$ é o "instante inicial". Pela definição de aceleração instantânea, sabemos que $$v(t)-v(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t} a dt=a(t-t_{0}),$$ lembre-se que $a$ é constante em relação ao tempo. Fazendo uma mudança de notação $v(t_{0})=v_{0},$ onde $v_{0}$ é um ponto fixo, temos 

$$v(t)=v_{0}+a(t-t_{0}).$$

Mostrando que a velocidade é uma função linear do tempo no movimento uniformemente acelerado.

Encontramos uma das equações que engloba este tipo de movimento, mas falta expor a lei horária. Para expressar a lei horária devemos lembrar da definição de velocidade: $v(t)=\frac{dx(t)}{dt}.$ A partir desta definição podemos ver que, em uma trajetória $x(t)$ (onde sua velocidade está representada no figura 2.1) durante o intervalo de tempo $[t_{0},t]$, a variação da distância entre os extremos do intervalo é dado por

$$x(t)-x(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t}v(t)dt.$$

Como o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta, fica fácil ver que a área associada a integral da velocidade, representada na figura 2.1, é um trapézio. De tal forma que podemos dividir este trapézio em outras duas formas geométricas: um triângulo e um retângulo. Portanto, a área do trapézio pode ser calculada como a soma da área do retângulo, isto é $v_{0}(t-t_{0})$, com a área do triângulo, que é $\frac{1}{2}(t-t_{0})a(t-t_{0})$, ou seja

$$\int_{t_{0}}^{t}v(t)dt=v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}(t-t_{0})a(t-t_{0})$$

$$\Longrightarrow x(t)-x(t_{0})=v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}(t-t_{0})a(t-t_{0}).$$ Definindo $x(t_{0})=x_{0}$, onde $x_{0}$ é um ponto fixo, temos a lei horária do movimento retilíneo uniformemente variado $$x(t)=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}a(t-t_{0})^{2},$$ com condições iniciais sendo $x_{0}$ e $v_{0}$ em $t_{0}$. O gráfico $x\times t$ é uma parábola.

Integração da velocidade.

É interessante perceber que uma única substituição simples pode levar a uma expressão matematicamente vantajosa. A equação de Torricelli exprime a velocidade no movimento uniformemente acelerado como função da posição. Para obter esta expressão, basta substituir a equação

$$v(t)=v_{0}+a(t-t_{0})$$ em $$x(t)=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}a(t-t_{0})^{2},$$ eliminando $t-t_{0}$: $$t-t_{0}=\frac{v-v_{0}}{a}$$

$$x(t)=x_{0}+v_{0}\bigg(\frac{v-v_{0}}{a}\bigg)+\frac{a}{2}\frac{(v-v_{0})^{2}}{a^{2}}$$

$$x - x_0 = \frac{v-v_{0}}{a}\bigg(v_{0}+\frac{v}{2}-\frac{v_{0}}{2}\bigg)=\frac{(v-v_{0})(v+v_{0})}{2a}=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}$$

$$\Longrightarrow v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0}).$$ Que é a expressão desejada.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem falaremos sobre "Movimento Bidimensional". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Movimento

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

A partir da postagem de hoje, iniciaremos o tópico de cinemática, ou seja, o estudo de como descrever o movimento de um corpo matemáticamente, sem se preocupar com as forças que provocam tal movimento.

Conceitos Iniciais

Para descrever um movimento, temos que definir alguns conceitos de grande importância: referencial, velocidade média, velocidade instantânea e aceleração média e instantânea.

Um referencial é algo subjetivo, na qual é onde as observações de fenômenos diversos são feitas. Ao mudar o referencial, a percepção dos fenômenos também muda. O referencial pode ser entendido como o ponto de vista de um observador colocado em determinado lugar no espaço. No caso unidimensional mais simples, é simplesmente a Reta, ou seja, é um conjunto ordenado de pontos, onde ela é representada geometricamente como uma linha reta.

A velocidade média é definida, usando coordenadas cartesianas (unidimensional) e t como parâmetro para o tempo, como 

$$v_{méd}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{1}-x_{2}}{t_{1}-t_{2}},$$ onde $x_{i}=x(t_{i})$ para $i=\{1,2\}$. Aqui, não nos interessa qual a velocidade entre o caminho $x(t)$, ou seja, entre os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$, apenas interessa os extremos (os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$).

Um instante é algo momentâneo, algo que se dá em um intervalo de tempo extremamente pequeno. Então, a velocidade instantânea é tal onde se tem $\Delta t\rightarrow0$. Se você conhece os conceitos básicos de cálculo, já deve ter percebido que a velocidade instantânea é dada pela derivada da função $x(t)$ em relação ao tempo; lembre-se que $\Delta t\rightarrow0$ implica $\Delta x\rightarrow0$, mas o quociente $\Delta x/\Delta t$ tende a um número finito. Portanto, a definição de velocidade instantânea é dado por 

$$v_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left[\frac{x(t_{0}+\Delta t)-x(t_{0})}{\Delta t}\right]=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{t=t_{0}}=\left(\frac{d(x(t))}{dt}\right)_{t=t_{0}},$$ onde $t_{0}$ é apenas um ponto fixo entre o caminho $x(t)$ (entre os pontos $x_{1}$ e $x_{2}$).

Há outras definições que são obtidas a partir das definições de velocidade média e instantânea, são elas: aceleração média e instantânea. Em linhas gerais, o raciocínio para se chegar a essas definições é o mesmo da velocidade. Temos que a aceleração média e instantânea é dada por

$$a_{méd}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{1}-v_{2}}{t_{1}-t_{2}}$$ e 

$$a_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left[\frac{v(t_{0}+\Delta t)-v(t_{0})}{\Delta t}\right]=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{t=t_{0}}=\left(\frac{d(v(t))}{dt}\right)_{t=t_{0}}.$$

Percebe-se que se a aceleração é função do tempo $a(t)$, então a variação da velocidade entre dois instantes é definida como 

$$v(t_{1})-v(t_{2})=\int_{t_{2}}^{t_{1}} a(t)dt.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem falaremos sobre "Equações do Movimento". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[3] Piórichkine A.V.; Ródina N.A. FÍSICA 1. U.R.S.S., 1984. 366 pág. Editora: Mir. Moscovo.

Novo episódio do podcast Centauro Mental - Física no Mundo Geek

Foi lançado o novo episódio do podcast Centauro Mental, de título "Física no Mundo Geek".

Neste episódio do podcast Centauro Mental, Priscila, Wellington, Luís e Evandro conversam sobre como os mundos da cultura geek e da física se entrelaçam para criar animes, mangás, filmes e jogos que estimulam a nossa imaginação.

O episódio pode ser escutado no anchor.fm ou no Spotify.