Gravitação Universal

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje finalizaremos a discussão sobre Gravitação com a Lei da Gravitação Universal de Newton. 

Gravitação Universal

Isaac Newton nasceu em 1642, no dia do natal, foi um matemático e físico (descrito em seus dias como um "filósofo natural"), onde é amplamente reconhecido como um dos cientistas mais influentes de todos os tempos e como uma figura-chave na Revolução Científica. Seu livro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), publicado pela primeira vez em 1687, lançou as bases da mecânica clássica. Newton também fez contribuições seminais à óptica e compartilha crédito com Gottfried Wilhelm Leibniz pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal, também desenvolveu o cálculo integral.

Em Principia, Newton formulou as leis do movimento e da gravitação universal que criaram o ponto de vista científico dominante até serem substituídas pela teoria da relatividade de Albert Einstein. Newton usou sua descrição matemática da gravidade para provar as leis de movimento planetário de Kepler, erradicando a dúvida sobre a heliocentricidade do Sistema Solar. Demonstrou que o movimento dos objetos na Terra e nos corpos celestes poderia ser explicado pelos mesmos princípios. 

A excentricidade das órbitas elípticas dos planetas eram pequenas demais, de modo que podemos tomar a órbita como circular, com muito boa aproximação.

Órbita circular

Para uma órbita circular, a 2ª lei de Kepler implica que o movimento é uniforme. Neste caso, a aceleração é centrípeta, e é dada, para uma órbita circular de raio $R$ e de velocidade angular $\omega=2\pi/T$, onde $T$ é o período, por

$$\vec{a}=-\omega^{2}R\hat{r}=-4\pi^{2}\frac{R}{T^{2}}\hat{r},$$ onde $\hat{r}$ é o vetor unitário na direção radial. Se $m$ é a massa do planeta, a força que atua sobre ele é dado pela 2ª lei de Newton

$$\vec{F}=m\vec{a}=-4\pi^{2}m\frac{R}{T^{2}}\hat{r}.$$ Perceba que é uma força atrativa.

Pela 3ª lei de Kepler, temos $\frac{R^{3}}{T^{2}}=C=\text{constante}$. Portanto podemos escrever a expressão acima como

$$\vec{F}=-4\pi C\frac{m}{R^{2}}\hat{r}.$$

Vemos assim que a 3ª lei de Kepler leva a conclusão de que a força gravitacional caí com o quadrado da distância entre os corpos. A equação acima também mostra que a força é proporcional à massa do planeta. Pela 3ª lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária sobre o sol, a qual deve também ser proporcional à massa $M$ do sol. Portanto, a lei da gravitação universal é expressa por

$$\vec{F}=-G\frac{mM}{R^{2}}\hat{r},$$ onde $G$ chama-se constante universal e tem seu valor aproximadamente como $6,6739\times10^{-11}$Nm$^{2}$/kg$^{2}$, característica da força gravitacional.

Talvez você esteja se perguntando como que se obtém a constante gravitacional. Bom, a primeira experiência elaborada com este fim foi feito por Henry Cavendish em 1798. Este experimento consiste em um par de esferas de massa $m$, nas extremidades de uma barra, onde é suspenso pelo centro da barra por uma fibra fina em uma posição de equilíbrio, a figura a seguir representa este experimento.

Experimento para se obter a constante gravitacional

Trazem-se então outras duas esferas de massa $M$ à mesma distância das esferas de massa $m$, o que produz um torque, pelas forças gravitacionais entre cada par de esferas. Esse torque faz girar a barra de um angulo $\theta$, produzindo uma torção correspondente da fibra, que é calibrada de forma a poder medir o torque, e conseguinte as forças gravitacionais, pelo ângulo de torção. Este ângulo é medido através de um desvio de um feixe de luz refletido por um espelho preso no fio (alavanca ótica).

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem iniciaremos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Torque

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando com o tratamento das rotações, tratando hoje da dinâmica das rotações, vamos utilizar esta analogia para procurar uma grandeza que faça um papel análogo ao da força. Uma forma de definir força no movimento linear é utilizando o conceito de trabalho $\Delta W$, ou seja, $\Delta W=\vert\vec{F}\vert\Delta x.$

O análogo de $F$ para a rotação seria então uma grandeza $\tau$ tal que $$\Delta W=\tau\Delta\theta$$ corresponda ao trabalho realizado em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta.$

Considere uma haste rígida girando em torno de um ponto fixo $O$ sob ação de uma força $F$ aplicada no ponto $P$, à distância $r$ do ponto $O$. A força $F$ faz um ângulo $\varphi$ com a extensão do segmento $\vec{OP}=\vec{r}$. Em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta$, o ponto $P$ sofre um deslocamento $\vec{PP^{'}}$ que se confunde com a tangente ao círculo com centro em $O$ e raio $r$ no ponto $P$, sendo portanto perpendicular à direção de $\vec{r}$. Portanto a projeção de $\vec{F}$ em $\vec{PP^{'}}$ é $$\vert\vec{F}\vert\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\varphi\bigg)=\vert\vec{F}\vert\sin(\varphi),$$ e sabendo que para um deslocamento angular infinitesimal $\Delta\theta$, $\vert\vec{PP^{'}}\vert$ se confunde com o arco de círculo com centro em $O$ e raio $r$. Portanto, temos que a magnitude do deslocamento do ponto de aplicação é $\vert\vec{PP^{'}}\vert\approx\vert\vec{r}\vert\Delta\theta,$ de modo que o trabalho ao longo deste deslocamento é 

$$\Delta W=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}\Delta\theta.$$

Figura 01: Haste em rotação

Perceba, que ao comparar $\Delta W=\tau\Delta\theta$ com o resultado acima, concluímos que

$$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$$ deve ser o análogo de $F$ para rotações em torno de $O.$

O resultado obtido acima, pode ser reescrito de duas maneiras, que destacam propriedades distintas.

1ª - Decompondo $\vec{F}$ em suas componentes $\vec{F}_{//},$ paralelo à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\cos{\varphi},$ e $\vec{F_{\perp}}$, perpendicular à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\sin{\varphi}.$ Assim, $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}=\vert\vec{F_{\perp}}\vert\vert\vec{r}\vert.$$ Mostrando que somente a componente perpendicular da força é eficaz na produção do giro. É meio obvio, pois a componente paralela da força exerce uma tração (ou compressão, dependendo do sentido) sobre o apoio fixo.

Figura 02: Componentes da força

Podemos reescrever ainda como $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r_{\perp}}\vert,$$ onde $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}.$

Perceba que $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vec{OQ}$ é a distancia da linha de ação $PQ$ da força no ponto $O.$ Está distância chama-se "braço de alavanca da força. É intuitivo que quanto maior for o braço da alavanca mais eficaz a força se torna em produzir a rotação.

Por isso que a maçaneta de uma porta é instalada o mais longe possível do eixo, pois assim poupamos esforço (aplicamos menos força).

Figura 03: Braço de alavanca

Vamos revisar um conceito importante para uma das definições de torque antes de demonstrar a segunda forma de reescrever a definição de torque.

O produto vetorial

O produto vetorial $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$ de dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ é o vetor definido por 

$$\vert\vec{c}\vert=\vert\vec{a}\vert\times \vert\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin{\varphi},$$ onde a direção do vetor $\vec{c}$ é perpendicular aos outros vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, o seu sentido é determinado pela ordem do produto vetorial, tal que no caso acima, visto da extremidade de $\vec{c}$, $\vec{a}$ gira aproximando-se de $\vec{b}$ no sentido anti-horário.

Note que a magnitude de $\vert\vec{c}\vert$ é também a área (paralelogramo) formada pelos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, conforme indicado na figura.

Como o sentido de rotação de $\vec{a}$ para $\vec{b}$ é oposto ao de $\vec{b}$ para $\vec{a}$, temos $$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b\times\vec{a}},$$ ou seja, o produto vetorial é anti-comutativo. Outras propriedades você pode encontrar em livros-textos de álgebra linear, recomendo "Álgebra Linear" de Steinbruch e Alfredo.

Figura 04: Produto vetorial

A grandeza $\tau$ foi introduzida como análoga à magnitude $\vert\vec{F}\vert$ de uma força, porém sabemos que na realidade a força é um vetor. Por outro lado, o ângulo formado por $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$ gera um plano delimitado pelos vetores. Assim, podemos definir o torque como um produto vetorial entre $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$, "dando" ao torque propriedades de um vetor. Portanto, comparando com $\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$, temos a ordem do produto vetorial como sendo

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.$$

A direção e o sentido de $\vec{\tau}$ têm um significado físico importante para a rotação. No exemplo da haste (Figura 4.2) que gira num plano (o plano formado por $\vec{r}$ e $\vec{F}$), $\vec{\tau}$ é perpendicular ao plano e paralelo ao eixo de rotação. Por outro lado, visto da extremidade de $\vec{\tau}$, a rotação tem lugar no sentido anti-horário. Caso $\vec{F}$ tivesse o sentido contrário, $\vec{F'}=-\vec{F}$, o sentido de $\vec{\tau}$ se inverte ($\vec{\tau'}=-\vec{\tau}$), e o sentido de rotação também se inverte.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Momento Angular". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Rotações

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Nesta semana iniciamos o assunto de "Rotações". Como o assunto é relativamente longo e complexo, dividiremos em várias partes, cada uma cobrindo parte do assunto. Hoje trataremos do conceito de corpo rígido e da cinemática da rotação.

Começamos nossa discussão da rotação definindo as variáveis do movimento, como fizemos para a translação. As variáveis do movimento de rotação são análogas às do movimento unidimensional, e uma situação especial importante é aquela na qual a aceleração (neste caso, a aceleração angular) é constante. É possível escrever uma equação equivalente à segunda lei de Newton para o movimento de rotação, usando uma grandeza chamada torque no lugar da força. O teorema do trabalho e energia cinética também pode ser aplicado ao movimento de rotação, com a massa substituída por uma grandeza chamada momento de inércia.

Um corpo rígido corresponde a um conceito limite ideal de um corpo indeformável quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas. Um corpo é rígido quando as distâncias entre dois pontos internos quaisquer do corpo é invariável.

Se fixarmos dois pontos $A$ e $B$ de um corpo rígido, isto equivale a fixar todos os pontos da reta definida por $AB$, pois todos eles têm de manter inalteradas suas distâncias de $A$ e de $B$. Qualquer ponto fora da reta $AB$, mas interna no corpo, tem de se manter inalterada sua distância ao eixo $AB$, de modo que só pode descrever um círculo com centro nesse eixo. Logo, $AB$ é um eixo de rotação: todos os pontos descrevem círculos com centro no eixo, e giram de um mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo.

Figura 01: Configuração de um sistema que gira

A figura 01 mostra uma reta de referência, fixa ao corpo, perpendicular ao eixo de rotação e girando com o corpo. A posição angular da reta é o ângulo que a reta faz com uma direção fixa, que tomamos como a posição angular zero. Ainda na figura 01, a posição angular $\theta$ é medida em relação ao semieixo $x$ positivo. De acordo com a geometria, $\theta$ é dado por $$\theta=s/r (\text{em radianos}).$$

Aqui, $s$ é comprimento de um arco de circunferência que vai do eixo $x$ (posição angular zero) até a reta de referência, e $r$ é o raio da circunferência. 

Um ângulo definido dessa forma é medido em radianos (rad) e não em revoluções (rev) ou em graus, pois como é a razão entre dois comprimentos, o radiano é um número puro, ou seja, não tem dimensão. 

Do ponto de vista cinemático, o movimento de rotação se reduz ao movimento circular de um ponto $P$ do corpo numa secção transversal. Como há um só grau de liberdade, o ângulo de rotação $\theta$ em torno do eixo, podemos estabelecer uma analogia entre o movimento de rotação e o movimento unidimensional. Nessa analogia, temos a seguinte correspondência entre grandezas lineares e angulares.

$$(\text{Deslocamento linear})= x\longleftrightarrow \theta =(\text{Deslocamento angular})$$

$$(\text{Velocidade linear})= v=\frac{dx}{dt}\longleftrightarrow \omega=\frac{d\theta}{dt}=(\text{Velocidade angular})$$

$$(\text{Aceleração linear})= a=\frac{dv}{dt}\longleftrightarrow \alpha=\frac{d\omega}{dt}=(\text{Aceleração angular})$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Torque". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Colisões

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

A palavra colisão, já fala por si só, uma ação onde dois corpos se colidem, em um termo mais simples, batem um no outro. Em termos físicos, colisão é ação onde dois corpos se chocam, causando uma troca de energia e momento em consequência de sua interação.

Tais corpos, podem ser de natureza macroscópica, ou mesmo pertencer à escala atômica ou subatômica. 

O ponto de partida, por assim dizer, é o que acontece antes do momento de colisão, a qual a interação entre elas é desprezível.

Se movimentam como partículas livres, em movimento retilíneo uniforme.

As forças de contato que atuam em uma colisão, são muito intensas, devido ao tempo de colisão.

O efeito que uma força impulsiva causa, pode ser medido através do impulso que a mesma produz:

\[\frac{dp_1}{dt}= F_{12}=-F_{21}=-\frac{dp_2}{dt}\]

$F_{12}$ e $F_{21}$ obedecem a Terceira Lei de Newton.

Integrando as equações, temos:

\[\int_{t_i}^{t_f}\frac{dp_1}{dt}dt=\int_{p_{i1}}^{p_{1f}}dp_1=p_{1f}-p_{1i}=\Delta p_1=\int_{t_i}^{t_f}F_{12}dt=-\int_{t_i}^{t_f}F_{21}dt=-\Delta p_2\]

Partindo deste princípio, vêm as colisões diversas, como a elástica, que se caracteriza pela conservação da energia cinética e do momento linear dos corpos envolvidos. Para ser mais simples, após o choque, a velocidade dos corpos, faz com os mesmo mudem de direção.

Nestas condições, temos as equações de conservação da energia e de momento, respectivamente:

\[p_i=p_f=M_a V_{ia}+M_b V_{ib}=M_a V_{fa}+M_b V_{ib}\]

\[E_i=E_f=\frac{1}{2}M_a V_{ia}^2+\frac{1}{2}M_b V_{ib}^2=\frac{1}{2}M_a V_{fa}^2+\frac{1}{2}M_b V_{fb}^2\]

Em seguida, temos a colisão inelástica, na qual a situação é inversa. Nela não ocorre a conservação da energia cinética, a qual, sofre transformação, neste caso, em energia térmica, a qual irá ocasionar o aumento de temperatura dos corpos em questão.

Na colisão perfeitamente inelástica, ocorre a perda máxima de energia cinética, ou seja, os corpos seguem unidos como um único corpo com a massa igual a soma das massas antes da colisão:

\[p_i=p_f=M_a V_{ia}+M_b V_{ib}=(M_a+M_b)V_f\]

\[V_f=\frac{M_a V_{ia}+M_b V_{ib}}{M_a+M_b}\]

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana iniciaremos o assunto de "Rotações". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 168 á 181. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] https://propg.ufabc.edu.br/mnpef-sites/leis-de-conservacao/colisoes/

Conservação do Momento Linear

 Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Na Física, existem muitas grandezas conservadas, as quais, são usadas para fazer previsões de situações, que fossem feitas de outras formas, seria mais complicada, uma delas é a Conservação do Momento.

Sabe-se  que algo que se conserva, não pode ser mudado, logo na física, não seria diferente. Tem-se uma variável qualquer de uma equação que representa uma grandeza conservadora, é constante por muito tempo. A mesma, terá o mesmo valor, do começo ao fim.

Vamos considerar dois corpos distintos que interagem entre si através de forças de contato, a equação tem-se como:

\[\frac{dp_{1}}{dt}=f_{1}\]

\[\frac{dp_{2}}{dt}=f_{2}\] o qual, $p_{1}$ e $p_{2}$ correspondem aos momentos dos corpos 1 e 2, respectivamente e $f_{1}$ e $f_{2}$, são as forças de contato aos quais os corpos são sujeitos. Com isso, se faz possível fazer a soma membro por membro, da forma que fica:

\[\frac{dp}{dt}= f_{1}+f_{2},\]

onde o momento se conserva, ou seja, $\frac{dp}{dt}=0$. O que resulta

\[\frac{dp}{dt}=0=f_{1}+f_{2}\]

É dito que, a força externa $f_{1}$ atua sobre o corpo 1, assim como a força externa $f_{2}$ atua sobre o corpo 2.

Aliás, você deve estar se perguntando "Por que momento é conservado?".  A conservação do momento é na verdade uma consequência direta da 3ª lei de Newton.

Considere uma colisão entre dois objetos, objeto A e objeto B. Quando os dois objetos colidem, há uma força em A devido a $F_{AB}$, mas por causa da terceira lei de Newton, há uma força igual na direção oposta, em B devido a $F_{BA}$.

As forças agem entre os objetos quando eles estão em contato. O período em que os objetos estão em contato $t_{AB}$ e $t_{BA}$ varia de acordo com as especificidades da situação. Por exemplo, seria maior para duas bolas moles do que para duas bolas de bilhar. No entanto, o tempo deve ser igual para ambas as bolas. Consequentemente, o impulso experimentado pelos objetos A e B deve ser igual em grandeza e em sentido contrário.

$$F_{AB}\cdot t_{AB}=-F_{BA}\cdot t_{BA}.$$

Se lembrarmos que o impulso é equivalente a uma mudança no momento, segue-se que a mudança nos momentos dos objetos é igual mas em direções opostas. Isso pode ser também expresso como a soma da mudança dos momentos sendo igual a zero.

$$m_{a}\Delta v_{A}=-m_{B}\Delta v_{B}\longrightarrow m_{a}\Delta v_{A}+m_{B}\Delta v_{B}=0.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Colisões". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] https://pt.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum/momentum-tutorial/a/what-is-conservation-of-momentum

[3] https://www.youtube.com/watch?v=wXewT_-jA5M

Leis de Newton

 Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

As tentativas de entender as causas e consequências do movimento dos corpos, assim como as interações entre eles foram questões que intrigaram o ser humano por uma grande parte da história. Aristóteles, grande filósofo grego e detentor de um grande conhecimento, acreditava que, dois corpos em queda livre caindo de uma mesma altura chegam ao chão em tempos diferentes, onde o objeto de maior massa chega ao solo mais rapidamente que o de menor massa. Além disso, acreditava que todo corpo fora de sua posição natural "tendia" a voltar, o explicaria o fato dos corpos caírem em queda livre. Também acreditava que a causa do movimento (quando se empurra uma caixa, por exemplo) seria aquilo que chamava de "força bruta" exercida sobre o corpo.

Porém, todas as ideias de Aristóteles eram baseada em conhecimentos do senso comum, mas a ciência ultrapassa suas fronteiras quando surge na Itália o Pai da ciência moderna, Galileu Galilei, mostrando uma nova forma de afirmar e demonstrar os fenômenos observados, onde a base era à experimentação. Tal método deu início a toda a contrução científica atual, a "ciência moderna". Galileu deu início aos estudos do movimento, mostrando suas causas e consequências.

Alguns meses posteriores a morte de Galileu, nasce na Inglaterra aquele que seria um dos maiores gênios da história da ciência, Sir Isaac Newton. Seus trabalhos sobre o movimento dos corpos contemplaram toda uma história e alcançaram horizontes jamais imaginados pela humanidade, nos fornecendo conhecimentos necessários para o engrandecimento. Têm-se como objetivo discorrer e debater acerca das três leis de movimento de Newton.

As leis de Newton

As leis de Newton são responsáveis por descrever as causas e consequências do movimentos.

Primeira Lei de Newton

Galileu defendia que tudo deveria ser provado de maneira experimental. Em umas das histórias sobre suas façanhas, Galileu subiu ao topo da Torre de Pisa (cidade onde nasceu) e de lá soltou objetos dos mais variados tamanhos e pesos, no qual acreditava que tais corpos chegariam ao chão em tempos iguais. Naqueles tempos, tais ideias contrariavam veementemente os pensamentos predominantes, mas é claro que a genialidade do homem não fora abatido.

Em um de seus experimentos, Galileu percebeu que, ao lançar uma bola em um plano inclinado com orientação vertical para cima, como na figura 1,

Figura 1: Bola subindo em um caminho inclinado.

percebeu que a bola perde velocidade até chegar em uma determinada altura limite. Inversamente, percebeu que ao jogar uma objeto (neste caso, consideramos a bola) em um plano inclinado para baixo, a velocidade aumenta, observe  nas figuras 1 e 2.

Figura 2: Bola descendo em um caminho inclinado.

Figura 3: Experimento de Galileu.

Assim, Galileu notou que, ao lançar a bola de determinada altura de um dos lados da rampa, como na Figura 3, esta chegava na mesma altura do outro lado da rampa, independente do ângulo de inclinação considerado. Também percebeu que, quanto menor o atrito nas rampas, maior era a precisão desta distância alcançada, com a bola alcançando aproximadamente a mesma altura que fora largada nas extremidades da rampa.

Figura 4: Plano sem inclinação.

Naturalmente, pensou que se não houvesse inclinação e atrito, como na figura 4, então o movimento poderia ser infinito, sem ação de forças externas. Desta forma, a ideia da primeira lei de Newton é vista da seguinte forma

Na ausência de forças externas em um sistema dinâmico, o corpo em velocidade constante mantém-se constante, enquanto um corpo em repouso permanece em repouso.

Esta ideia primordial viria a ser complementada e estruturada por Isaac Newton.  

Segunda lei de Newton: Lei Fundamental da dinâmica 

Para enunciar a segunda lei de Newton, alguns conceitos físicos básicos devem ser entendidos.

Inércia e massa - suas relações

Em linhas gerais, a inércia é uma propriedade da matéria que resiste a alteração no movimento. A pergunta que se faz naturalmente é: "O quanto cada corpo é capaz de se opor a alteração de movimento". Neste caso, a massa está estritamente ligada a esse fenômeno, pois quanto maior a massa do corpo, maior será sua resistência a alteração do seu momento dinâmico. E quando sofre aceleração, o que podemos dizer sobre? Acompanhe no próximo tópico.

Força

Força é uma grandeza vetorial, geralmente representada por uma seta, e representa a interação entre dois ou mais corpos.

Relação entre massa, força e aceleração

A massa é uma propriedade que exibe a quantidade de matéria presente em um corpo e, como fora dito anteriormente, está relacionada com a inércia. Para produzir aceleração, é necessário que a força aplicada sobre o corpo vença a inércia e as forças que se opõe ao sentido da força aplicada, tendo mais aceleração quanto maior sua intensidade e menor proporcionalmente, assim como a aceleração aumenta quanto menor for a massa e vice-versa (uma vez que está inteiramente ligada com a inércia). Logo, podemos concluir que a aceleração é diretamente proporcional a força aplicada e inversamente proporcional a massa do corpo.

$$\textrm{aceleração} = \frac{\textrm{forca}}{\textrm{massa}}$$

Enunciado

Depois de toda a discussão acima, podemos afirmar que

A aceleração de um corpo é diretamente proporcional a força aplicada e inversamente proporcional a massa do corpo

Matematicamente, a equação que representa a segunda lei de Newton é 

$$a = \frac{F}{m} \textrm{ ou } F = ma$$

Tendo em vista tais fatos, podemos também enunciar a segunda lei de Newton da seguinte forma: 

Quando as forças externas em um sistema não se anulam, o movimento será na direção da força resultante

Matematicamente falando, temos

$$\sum F \neq 0 $$

então o movimento será dado na direção da força resultante e terá módulo

$$F = ma$$

Terceira lei de Newton

A terceira lei de Newton estabelece uma lei de "ação" e "reação" na interação entre dois ou mais corpos. Em síntese, quando um corpo interage outro, sempre terá uma força contrária a força aplicada e de mesmo módulo. A terceira lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma. Segundo [1]:

Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro são iguais e módulos e sentidos opostos.

Uma pergunta natural que se faz nesse momento é: "Se esta lei é válida, então todas as forças na interação entre dois corpos sempre se anulam e nunca teremos movimento?"

A partir dessa ideia, temos a ideia de sistema, ou seja, o movimento depende do sistema considerado, pois forças externas são capazes de alterar o movimento, mas forças internas sempre se anulam, então segue da primeira lei de Newton. Todavia, ainda não falamos de sistema, não é? A ideia é que apenas dois sistemas distintos podem interagir um com o outro a ponto de que eles influenciem no resultado final de seu movimento, em outras palavras, quando considerado dois corpos aplicando uma força um com o outro, haverá movimento se a força aplicada em um dos corpos for superior a inércia do outro.

Figura 5: Empurrando uma caixa, enquanto esta caixa exerce uma força de mesmo módulo, mas sentido contrário. Por se tratarem de sistemas diferentes e a força aplicada pela mão for externa ao sistema da caixa, ele entrará em movimento quando a força da mão vencer a inércia e as forças dissipativas presentes. Fonte: Denis, blog biologia total, 2019.

Exemplos

Figura 6: Nesta situação do homem realizando flexão, ele encontra-se em situação de equilíbrio, pois empurra o chão na mesma intensidade que o chão o empurra. Fonte: Blog do professor Ferreto, 2020.

Figura 7: Nesse caso, o foguete empurra o gás através de suas turbinas enquanto o gás expelido empurra o foguete em sentido contrário, o que possibilita o seu lançamento. Fonte: Denis, blog biologia total, 2019.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Conservação do Momento". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Hewitt, Paul G.; Física conceitual; 12ª edição. Editora: Bookman. Porto Alegre, 2015.

Movimento Circular Uniforme

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

O movimento circular uniforme é um movimento bidimensional (plano), em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade instantânea é constante, de modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempos iguais. Temos assim um movimento periódico, em que o período corresponde ao tempo levado para descrever uma volta completa.

Suponha que uma partícula esteja girando, correspondente a um sistema cartesiano com origem no centro do círculo, figura 1, com as condições especificadas no parágrafo anterior. Em um instante, dado a posição de uma partícula como P, vemos que sua posição é definida em termos de $\theta$, entre o vetor deslocamento $\vec{r}=\vec{OP}$ e o eixo $Ox$, onde $\theta$ é positivo no sentido anti-horário. Lembrando que $\theta$ é medido em radianos.

Figura 1: Movimento circular

Vamos introduzir dois vetores unitários $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$, onde $\hat{r}$ está na direção de $\vec{r}$, e $\hat{\theta}$ é tangente ao círculo em P, orientado na direção de $\theta>0$, e portanto perpendicular a $\vec{r}$.

Pelas condições do movimento circular uniforme, a lei horária do movimento é

$$s(t)=s_{0}+v(t-t_{0}),$$ onde $s=\vert\vec{r}\vert\theta$. Pela definição de $s$, $s_{0}$ é o valor do arco no instante inicial $t_{0}$ e $v$ é a velocidade com a qual o arco $s$ é descrito. 

Lembrando da definição de velocidade, variação do deslocamento pela variação no tempo, temos que a velocidade instantânea é dada por $v=\vert\vec{v}\vert=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta s}{\Delta t}\bigg)=\frac{ds}{dt}$, porém quando $\Delta t\rightarrow0$ implica na extrema aproximação de $\vert\Delta \vec{r}\vert$ com $\Delta s$. Portanto, se $\vert\vec{r}(t)\vert = c$ (uma constante), então $\vec{r^{'}}(t)=\frac{dr}{dt}$ é ortogonal a $\vec{r}(t)$ para todo t. Uma vez que

$$\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)=\vert\vec{r}(t)\vert^{2}=c^{2},$$ pela regra do produto (derivação de um produto) temos

$$\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)+\vec{r}(t)\cdot\vec{r^{'}}(t)=2\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t),$$ mas como $\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=0$. Obtemos por fim que

$$\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)=0 \Longrightarrow \vec{r^{'}}\bot\vec{r}.$$

Por consequência disto, a velocidade instantânea $\vec{v}$ é tangente ao círculo no ponto P, pois no limite $\Delta t\rightarrow0$, $\vert\Delta \vec{r}\vert$ se confunde com $\Delta s$.

Como $\vec{v}$ é tangente, temos então $\vert\vec{v}\vert=v\hat{\theta}$.

Figura 2: Vetor velocidade de uma partícula

O período $T$ é o tempo levado para descrever uma volta completa, ou seja 

$$T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}.$$

Chama-se de frequência o número de rotações por unidade de tempo, e é definido como o inverso do período $f=\frac{1}{T}.$

Empregando $s=\vert\vec{r}\vert\theta$ em $s(t)=s_{0}+v(t-t_{0})$, obtemos uma expressão da lei horária em termos do ângulo $\theta$ descrito em função do tempo:

$$\theta(t)=\theta_{0}+\omega(t-t_{0}),$$ onde $$\omega=\vert\vec{v}\vert/\vert\vec{r}\vert,$$ chama-se velocidade angular. Percebe-se que a velocidade cresce linearmente com o tempo, ou seja, $\vert\vec{v}\vert=\omega\vert\vec{r}\vert$; o que faz sentindo pois na "circunferência mais externa", a partícula deve percorrer um arco $s$ maior, e como tem de se manter os arcos de círculo iguais em tempos iguais, deve-se aumentar o módulo da velocidade (em todo o arco de circulo, pois em círculos diferentes ela mudará).

Substituindo $T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}$ em $\omega=v/\vert\vec{r}\vert$, obtemos $$\vert\omega\vert=\frac{2\pi}{T}=2\pi f.$$

Figura 3: Vetores velocidade e aceleração

A fig. 3 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento circular uniforme. O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da circunferência. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de aceleração centrípeta (“que busca o centro”).

Há vários jeitos de se alcançar a expressão da aceleração no movimento circular uniforme. Vamos apresentar o jeito que acreditamos ser o mais didático possível.

Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme, considere a fig. 4. Na fig. 5 a partícula $p$ se move com velocidade escalar constante enquanto percorre uma circunferência de raio $\vert\vec{r}\vert=r$. No instante mostrado, as coordenadas de $p$ são $x_{p}$ e $y_{p}$.

Como vimos anteriormente, a velocidade de uma partícula em movimento é sempre tangente à trajetória da partícula na posição considerada. Na fig. 4, isso significa que $\vec{v}$ é perpendicular a uma reta $r$ que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo $\theta$ que $\vec{v}$ faz com uma reta paralela ao eixo $y$ passando pelo ponto $p$ é igual ao ângulo $\theta$ que o raio $r$ faz com o eixo $x$.

As componentes escalares de $\vec{v}$ são mostradas na fig. 5. Em termos dessas componentes, a velocidade pode ser escrita na forma

$$\vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}=(-v\sin{\theta})\vec{i}+(v\cos{\theta})\vec{j}.$$

Usando o triângulo retângulo da fig. 4, podemos substituir $\sin{\theta}$ por $y_{p}/r$ e $\cos{\theta}$ por $x_{p}/r$ e escrever

$$\vec{v}=-\frac{vy_{p}}{r}\vec{i}+\frac{vx_{p}}{r}\vec{j}.$$

Para determinar a aceleração $\vec{a}$ da partícula em $p$, devemos calcular a derivada de $\vec{v}$ em relação ao tempo. Observando que a velocidade escalar $v$ e o raio $r$ não variam com o tempo, obtemos

$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\bigg(-\frac{v}{r}\frac{dy_{p}}{dt}\bigg)\vec{i}+\bigg(\frac{v}{r}\frac{dx_{p}}{dt}\bigg)\vec{j}.$$

Note que a taxa de variação com o tempo de $y_{p}$ é igual à componente $y$ da velocidade, $v_{y}$. Analogamente, $dx_{p}/dt = v_{x}$, e, novamente de acordo com a fig. 5, $v_{x} = –v \sin{\theta}$ e $v_{y} = v \cos{\theta}$.

Fazendo essas substituições na equação de $\vec{a}$, obtemos

$$\vec{a}=\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}\bigg)\vec{i}+\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}\bigg)\vec{j}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}.$$

Esse vetor e suas componentes aparecem na fig. 6. Portanto, o tamanho do vetor $\vec{a}$ dá o valor escalar da aceleração. Então

$$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\frac{v^{2}}{r}\sqrt{(\cos{\theta})^{2}+(\sin{\theta})^{2}}=\frac{v^{2}}{r}.$$

Para determinar a orientação de $\vec{a}$, basta calcularmos o ângulo $\theta_{6}$ (ângulo relacionado a fig. 6):

$$\tan{\theta_{6}}=\frac{a_{y}}{a_{x}}=\frac{-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}}{-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\tan{\theta} \longrightarrow \theta_{6}=\theta.$$ O que significa que $\vec{a}$ aponta na direção do raio $r$ da fig. 4.

Figura 4: Sistema do movimento

Figura 5: Componentes da velocidade

Figura 6: Componentes da aceleração

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "As leis de Newton". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.