A Transformação de Galileu

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje iniciamos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais, mas para entender a diferença entre referenciais inerciais e não-inerciais, precisamos primeiro entender como mudar de um referencial para outro.

Até aqui você sempre utilizou as leis da mecânica para referenciais inerciais, ou seja, referenciais que estão relativamente parados e/ou movimento retilíneo uniforme. Um referencial deve ser visualizado como algo concreto: por exemplo, um sistema cartesiano de eixos, que podem ser tomadas de comprimento unitário, para medir as coordenadas, e algo para medir o tempo, como um relógio.

O problema a ser tratado é a passagem de um referencial inercial, designado por $S$, para um referencial não-inercial $S'$, onde $S'$ está em movimento em relação a $S$.

Considerando, primeiramente, o caso em que $S'$ se move em relação a $S$ com movimento retilíneo uniforme de velocidade $V$ na direção $x$. Neste caso, a lei da inércia é válida para $S'$.

A relação entre as coordenadas de um ponto $P$ em um dado instante $t$ (vamos supor que os referenciais coincidem no instante inicial) em $S'$ e $S$ é baseada na seguinte hipótese: o movimento retilíneo uniforme não afeta as distâncias, ou melhor ainda, não afeta as unidades de comprimento empregadas para medir as coordenadas.

Nestas condições, conforme mostra a figura abaixo, a transformação de Galileu de $S$ para $S'$ consiste, no instante $t$, na translação espacial $vt$ ao longo de $x$:

$$x'=x-Vt$$

$$y'=y$$

$$z'=z$$

$$t=t'$$

Essa transformação é conhecida como "transformação de Galileu espacial".

Transformação de Galileu

As equações acima mostram, imediatamente por derivação, as leis de movimento para esta transformação. Perceba que a derivada segunda de $x'$, ou seja, $\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=a_{x}'$ é igual a $a_{x}$ (aceleração no eixo $x$ em relação ao referencial $S$). Mostrando que as componentes da aceleração não se alteram.

A extensão das equações de movimento para o caso geral, em que $S'$ se move em relação a $S$ com MRU em qualquer direção do espaço, é dada substituindo a forma escalar por vetores. Assim, as equações de movimento são:

$$\vec{x^{'}}=\vec{x}-\vec{V}t$$

$$\vec{v^{'}}=\vec{v}-\vec{V}$$

$$\vec{a^{'}}=\vec{a}$$

$$t=t'$$

Talvez você esteja se perguntando "e as leis de Newton? como que fica a 2ª lei de Newton no referencial $S'$?". Novamente se faz uma hipótese, que perdurou bastante tempo até Einstein chamar a atenção sobre tal hipótese, a saber, que a massa inercial de uma partícula em relação a $S'$ é a mesma que em $S$: $m'=m$

Todas as equações acima implicam que, em $S'$, a 2ª lei de Newton tem a forma $$\vec{F^{'}}=m'\vec{a^{'}}$$

ou seja, tem a mesma forma que em $S$, o que exprime que a 2ª lei de Newton é covariante por transformação de Galileu.

Como a 2ª lei de Newton é o principio fundamental da dinâmica, podemos dizer que as leis da mecânica Newtoniana são as mesmas em qualquer referencial inercial. Mas isso é um caso particular.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão, desta vez "Referenciais Não-Inerciais e Forças de Inércia". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

Um Pouco da História da Gravitação

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje iniciamos a discussão sobre Gravitação. Nesta postagem abordaremos o pensamento de alguns filósofos sobre o Universo, parando na Idade Média. Nas próximas postagens continuaremos a discussão. 

É importante frisar o desenvolvimento dos modelos do sistema solar, que para à época foi o universo inteiro.

O pensamento no Império Romano

A época mais brilhante da história da ciência ocidental, antes do século XVII, foi o período da civilização helenística. Muitas realizações científicas da época moderna dificilmente teriam ocorrido sem as descobertas dos filósofos gregos. Quando a filosofia grega se fundiu com a ciência já conhecida dos caldeus e egípcios houve um grande estímulo ao desenvolvimento intelectual. Outro fator de desenvolvimento científico foi o novo interesse do povo grego pelo conforto, levando-o à procura de conhecimentos práticos capazes de solucionar os problemas do dia a dia. E esse conhecimento exigia o desenvolvimento da astronomia, física e matemática. Ao mesmo tempo em que a civilização grega florescia também crescia a civilização romana. Em 265 a.C. Roma já havia conquistado e anexado toda a Itália. Logo Roma envolveu-se nas chamadas guerras púnicas com a cidade-estado Cartago derrotando-a totalmente (após três guerras) em 146 a.C. Como o rei da Macedônia havia sido aliado de Cartago, Roma invadiu e ocupou toda a Grécia.

Roma certamente sofreu uma grande influência da civilização helenística, mas várias partes da cultura grega não foram adotadas pelos romanos. No entanto, o epicurismo e o estoicismo dos gregos foram adotados por muitos romanos das classes mais elevadas. O mais famoso epicurista romano foi Tito Lucrécio Caro (98-~55 a.C.), cujo poema didático “Da Natureza das Coisas” procurava explicar o Universo de forma a libertar o ser humano do medo do sobrenatural, que ele considerava o principal obstáculo à obtenção da paz de espírito. Lucrécio dizia que os mundos, e todas as coisas contidas neles, eram resultados fortuitos de inúmeras combinações de átomos. O estoicismo foi introduzido em Roma por Panécio de Rodes (185-100 a.C.) aproximadamente no ano 140 a.C. Seu mais ilustre representante foi Marco Túlio Cícero (106-43 a.C.), um dos maiores pensadores de Roma.  

Com o desenvolvimento do Cristianismo passamos a viver em um mundo inequivocamente teocêntrico. Esse teocentrismo é garantido pela evolução e estruturação de uma nova instituição que soube chegar ao poder: a Igreja Católica. Com a sua criação tudo muda no mundo civilizado ocidental. Aos poucos a Igreja deixa de se concentrar no domínio religioso e estende sua influência a todos os domínios da vida europeia. A Igreja passa a ditar as regras do convívio social, econômico, artístico, cultural e, porque não, político. Com o acúmulo de enorme poder, nada mais natural que a Igreja passasse a ter como ponto principal conservá-lo. Isso fez com que surgisse um vergonhoso totalitarismo religioso: a Igreja decretou que suas “verdades” não estavam sujeitas a critica e quem as desafiasse, mesmo que isso fosse apenas discutir o que era considerado sagrado pela Igreja, teria se confrontar com os guardiões da fé, a famigerada Inquisição.

Hipátia (Hipácia) de Alexandria (370-415):

Hipátia (ou Hipácia; em grego: Υπατία, Ypatía) de Alexandria foi uma matemática e filósofa neoplatônica, nascida em 370 e assassinada em 415. O fato de Hipátia ser uma filósofa pagã (num meio predominantemente cristão) é tido como um dos fatores que contribuíram para o seu assassinato. Porém, estudos mais recentes, como o da historiadora Maria Dzielska, salientam que Hipátia foi assassinada por razões políticas, no contexto da luta pelo poder em Alexandria. 

“Hipátia distinguiu-se na matemática, na astronomia, na física e foi ainda responsável pela escola de filosofia neoplatônica - uma extraordinária diversificação de atividades para qualquer pessoa daquela época. Nasceu em Alexandria em 370, numa época em que as mulheres tinham poucas oportunidades e eram tratadas como objetos. Hipátia moveu-se livremente e sem problemas nos domínios que pertenciam tradicionalmente aos homens. Segundo todos os testemunhos, era de grande beleza. Tinha muitos pretendentes mas rejeitou todas as propostas de casamento. A Alexandria do tempo de Hipátia - então desde há muito sob o domínio romano - era uma cidade onde se vivia sob grande pressão. A escravidão tinha retirado à civilização clássica a sua vitalidade, a Igreja Cristã consolidava-se e tentava dominar a influência e a cultura pagãs.” (Carl Sagan, série: cosmos, 1980)

O Universo na Idade Média

Por volta do ano 1000 d.C. os modelos do Universo consideravam que a Terra estava no centro de tudo e que o céu era uma tampa com buracos. A luz proveniente de fogos ardendo no lado de fora brilharia através dos buracos e alcançaria a Terra como a luz das estrelas. A Figura mostra como era a visão do Universo por volta do ano 1000 d.C. Em resumo, a Cosmologia da Idade Média tem as seguintes características:

• A ciência grega tinha estabelecido que Terra era o apex (o ponto mais alto) do Universo em um sentido físico.
• A Igreja institucional elaborou um significado desta interpretação nas Sagradas Escrituras e adotou o esquema de Ptolomeu.
• Abaixo da Terra estava o inferno, evidenciado pelos vapores abrasadores que é lançado pelos vulcões.
• Acima estavam sete esferas nas quais, o Sol e os planetas giram em torno da Terra. 
• A oitava esfera era uma abóbada imóvel sobre a qual as estrelas se penduravam como lâmpadas.
• A nona, ou esfera cristalina, era a residência dos santos. 
• Acima de tudo, na esfera número dez, estava a residência de Deus Todo Poderoso, chamada Paraíso ou Firmamento.
• Esta teoria de cosmologia tendeu a ser cada vez mais aceita como fato.

O universo por volta do ano 1000 d.C.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão sobre Gravitação, desta vez abordando as especulações desenvolvidas durante o período da Renascença. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Gravitação Universal

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje finalizaremos a discussão sobre Gravitação com a Lei da Gravitação Universal de Newton. 

Gravitação Universal

Isaac Newton nasceu em 1642, no dia do natal, foi um matemático e físico (descrito em seus dias como um "filósofo natural"), onde é amplamente reconhecido como um dos cientistas mais influentes de todos os tempos e como uma figura-chave na Revolução Científica. Seu livro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), publicado pela primeira vez em 1687, lançou as bases da mecânica clássica. Newton também fez contribuições seminais à óptica e compartilha crédito com Gottfried Wilhelm Leibniz pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal, também desenvolveu o cálculo integral.

Em Principia, Newton formulou as leis do movimento e da gravitação universal que criaram o ponto de vista científico dominante até serem substituídas pela teoria da relatividade de Albert Einstein. Newton usou sua descrição matemática da gravidade para provar as leis de movimento planetário de Kepler, erradicando a dúvida sobre a heliocentricidade do Sistema Solar. Demonstrou que o movimento dos objetos na Terra e nos corpos celestes poderia ser explicado pelos mesmos princípios. 

A excentricidade das órbitas elípticas dos planetas eram pequenas demais, de modo que podemos tomar a órbita como circular, com muito boa aproximação.

Órbita circular

Para uma órbita circular, a 2ª lei de Kepler implica que o movimento é uniforme. Neste caso, a aceleração é centrípeta, e é dada, para uma órbita circular de raio $R$ e de velocidade angular $\omega=2\pi/T$, onde $T$ é o período, por

$$\vec{a}=-\omega^{2}R\hat{r}=-4\pi^{2}\frac{R}{T^{2}}\hat{r},$$ onde $\hat{r}$ é o vetor unitário na direção radial. Se $m$ é a massa do planeta, a força que atua sobre ele é dado pela 2ª lei de Newton

$$\vec{F}=m\vec{a}=-4\pi^{2}m\frac{R}{T^{2}}\hat{r}.$$ Perceba que é uma força atrativa.

Pela 3ª lei de Kepler, temos $\frac{R^{3}}{T^{2}}=C=\text{constante}$. Portanto podemos escrever a expressão acima como

$$\vec{F}=-4\pi C\frac{m}{R^{2}}\hat{r}.$$

Vemos assim que a 3ª lei de Kepler leva a conclusão de que a força gravitacional caí com o quadrado da distância entre os corpos. A equação acima também mostra que a força é proporcional à massa do planeta. Pela 3ª lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária sobre o sol, a qual deve também ser proporcional à massa $M$ do sol. Portanto, a lei da gravitação universal é expressa por

$$\vec{F}=-G\frac{mM}{R^{2}}\hat{r},$$ onde $G$ chama-se constante universal e tem seu valor aproximadamente como $6,6739\times10^{-11}$Nm$^{2}$/kg$^{2}$, característica da força gravitacional.

Talvez você esteja se perguntando como que se obtém a constante gravitacional. Bom, a primeira experiência elaborada com este fim foi feito por Henry Cavendish em 1798. Este experimento consiste em um par de esferas de massa $m$, nas extremidades de uma barra, onde é suspenso pelo centro da barra por uma fibra fina em uma posição de equilíbrio, a figura a seguir representa este experimento.

Experimento para se obter a constante gravitacional

Trazem-se então outras duas esferas de massa $M$ à mesma distância das esferas de massa $m$, o que produz um torque, pelas forças gravitacionais entre cada par de esferas. Esse torque faz girar a barra de um angulo $\theta$, produzindo uma torção correspondente da fibra, que é calibrada de forma a poder medir o torque, e conseguinte as forças gravitacionais, pelo ângulo de torção. Este ângulo é medido através de um desvio de um feixe de luz refletido por um espelho preso no fio (alavanca ótica).

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem iniciaremos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Torque

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando com o tratamento das rotações, tratando hoje da dinâmica das rotações, vamos utilizar esta analogia para procurar uma grandeza que faça um papel análogo ao da força. Uma forma de definir força no movimento linear é utilizando o conceito de trabalho $\Delta W$, ou seja, $\Delta W=\vert\vec{F}\vert\Delta x.$

O análogo de $F$ para a rotação seria então uma grandeza $\tau$ tal que $$\Delta W=\tau\Delta\theta$$ corresponda ao trabalho realizado em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta.$

Considere uma haste rígida girando em torno de um ponto fixo $O$ sob ação de uma força $F$ aplicada no ponto $P$, à distância $r$ do ponto $O$. A força $F$ faz um ângulo $\varphi$ com a extensão do segmento $\vec{OP}=\vec{r}$. Em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta$, o ponto $P$ sofre um deslocamento $\vec{PP^{'}}$ que se confunde com a tangente ao círculo com centro em $O$ e raio $r$ no ponto $P$, sendo portanto perpendicular à direção de $\vec{r}$. Portanto a projeção de $\vec{F}$ em $\vec{PP^{'}}$ é $$\vert\vec{F}\vert\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\varphi\bigg)=\vert\vec{F}\vert\sin(\varphi),$$ e sabendo que para um deslocamento angular infinitesimal $\Delta\theta$, $\vert\vec{PP^{'}}\vert$ se confunde com o arco de círculo com centro em $O$ e raio $r$. Portanto, temos que a magnitude do deslocamento do ponto de aplicação é $\vert\vec{PP^{'}}\vert\approx\vert\vec{r}\vert\Delta\theta,$ de modo que o trabalho ao longo deste deslocamento é 

$$\Delta W=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}\Delta\theta.$$

Figura 01: Haste em rotação

Perceba, que ao comparar $\Delta W=\tau\Delta\theta$ com o resultado acima, concluímos que

$$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$$ deve ser o análogo de $F$ para rotações em torno de $O.$

O resultado obtido acima, pode ser reescrito de duas maneiras, que destacam propriedades distintas.

1ª - Decompondo $\vec{F}$ em suas componentes $\vec{F}_{//},$ paralelo à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\cos{\varphi},$ e $\vec{F_{\perp}}$, perpendicular à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\sin{\varphi}.$ Assim, $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}=\vert\vec{F_{\perp}}\vert\vert\vec{r}\vert.$$ Mostrando que somente a componente perpendicular da força é eficaz na produção do giro. É meio obvio, pois a componente paralela da força exerce uma tração (ou compressão, dependendo do sentido) sobre o apoio fixo.

Figura 02: Componentes da força

Podemos reescrever ainda como $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r_{\perp}}\vert,$$ onde $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}.$

Perceba que $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vec{OQ}$ é a distancia da linha de ação $PQ$ da força no ponto $O.$ Está distância chama-se "braço de alavanca da força. É intuitivo que quanto maior for o braço da alavanca mais eficaz a força se torna em produzir a rotação.

Por isso que a maçaneta de uma porta é instalada o mais longe possível do eixo, pois assim poupamos esforço (aplicamos menos força).

Figura 03: Braço de alavanca

Vamos revisar um conceito importante para uma das definições de torque antes de demonstrar a segunda forma de reescrever a definição de torque.

O produto vetorial

O produto vetorial $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$ de dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ é o vetor definido por 

$$\vert\vec{c}\vert=\vert\vec{a}\vert\times \vert\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin{\varphi},$$ onde a direção do vetor $\vec{c}$ é perpendicular aos outros vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, o seu sentido é determinado pela ordem do produto vetorial, tal que no caso acima, visto da extremidade de $\vec{c}$, $\vec{a}$ gira aproximando-se de $\vec{b}$ no sentido anti-horário.

Note que a magnitude de $\vert\vec{c}\vert$ é também a área (paralelogramo) formada pelos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, conforme indicado na figura.

Como o sentido de rotação de $\vec{a}$ para $\vec{b}$ é oposto ao de $\vec{b}$ para $\vec{a}$, temos $$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b\times\vec{a}},$$ ou seja, o produto vetorial é anti-comutativo. Outras propriedades você pode encontrar em livros-textos de álgebra linear, recomendo "Álgebra Linear" de Steinbruch e Alfredo.

Figura 04: Produto vetorial

A grandeza $\tau$ foi introduzida como análoga à magnitude $\vert\vec{F}\vert$ de uma força, porém sabemos que na realidade a força é um vetor. Por outro lado, o ângulo formado por $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$ gera um plano delimitado pelos vetores. Assim, podemos definir o torque como um produto vetorial entre $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$, "dando" ao torque propriedades de um vetor. Portanto, comparando com $\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$, temos a ordem do produto vetorial como sendo

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.$$

A direção e o sentido de $\vec{\tau}$ têm um significado físico importante para a rotação. No exemplo da haste (Figura 4.2) que gira num plano (o plano formado por $\vec{r}$ e $\vec{F}$), $\vec{\tau}$ é perpendicular ao plano e paralelo ao eixo de rotação. Por outro lado, visto da extremidade de $\vec{\tau}$, a rotação tem lugar no sentido anti-horário. Caso $\vec{F}$ tivesse o sentido contrário, $\vec{F'}=-\vec{F}$, o sentido de $\vec{\tau}$ se inverte ($\vec{\tau'}=-\vec{\tau}$), e o sentido de rotação também se inverte.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Momento Angular". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Rotações

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Nesta semana iniciamos o assunto de "Rotações". Como o assunto é relativamente longo e complexo, dividiremos em várias partes, cada uma cobrindo parte do assunto. Hoje trataremos do conceito de corpo rígido e da cinemática da rotação.

Começamos nossa discussão da rotação definindo as variáveis do movimento, como fizemos para a translação. As variáveis do movimento de rotação são análogas às do movimento unidimensional, e uma situação especial importante é aquela na qual a aceleração (neste caso, a aceleração angular) é constante. É possível escrever uma equação equivalente à segunda lei de Newton para o movimento de rotação, usando uma grandeza chamada torque no lugar da força. O teorema do trabalho e energia cinética também pode ser aplicado ao movimento de rotação, com a massa substituída por uma grandeza chamada momento de inércia.

Um corpo rígido corresponde a um conceito limite ideal de um corpo indeformável quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas. Um corpo é rígido quando as distâncias entre dois pontos internos quaisquer do corpo é invariável.

Se fixarmos dois pontos $A$ e $B$ de um corpo rígido, isto equivale a fixar todos os pontos da reta definida por $AB$, pois todos eles têm de manter inalteradas suas distâncias de $A$ e de $B$. Qualquer ponto fora da reta $AB$, mas interna no corpo, tem de se manter inalterada sua distância ao eixo $AB$, de modo que só pode descrever um círculo com centro nesse eixo. Logo, $AB$ é um eixo de rotação: todos os pontos descrevem círculos com centro no eixo, e giram de um mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo.

Figura 01: Configuração de um sistema que gira

A figura 01 mostra uma reta de referência, fixa ao corpo, perpendicular ao eixo de rotação e girando com o corpo. A posição angular da reta é o ângulo que a reta faz com uma direção fixa, que tomamos como a posição angular zero. Ainda na figura 01, a posição angular $\theta$ é medida em relação ao semieixo $x$ positivo. De acordo com a geometria, $\theta$ é dado por $$\theta=s/r (\text{em radianos}).$$

Aqui, $s$ é comprimento de um arco de circunferência que vai do eixo $x$ (posição angular zero) até a reta de referência, e $r$ é o raio da circunferência. 

Um ângulo definido dessa forma é medido em radianos (rad) e não em revoluções (rev) ou em graus, pois como é a razão entre dois comprimentos, o radiano é um número puro, ou seja, não tem dimensão. 

Do ponto de vista cinemático, o movimento de rotação se reduz ao movimento circular de um ponto $P$ do corpo numa secção transversal. Como há um só grau de liberdade, o ângulo de rotação $\theta$ em torno do eixo, podemos estabelecer uma analogia entre o movimento de rotação e o movimento unidimensional. Nessa analogia, temos a seguinte correspondência entre grandezas lineares e angulares.

$$(\text{Deslocamento linear})= x\longleftrightarrow \theta =(\text{Deslocamento angular})$$

$$(\text{Velocidade linear})= v=\frac{dx}{dt}\longleftrightarrow \omega=\frac{d\theta}{dt}=(\text{Velocidade angular})$$

$$(\text{Aceleração linear})= a=\frac{dv}{dt}\longleftrightarrow \alpha=\frac{d\omega}{dt}=(\text{Aceleração angular})$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Torque". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Colisões

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

A palavra colisão, já fala por si só, uma ação onde dois corpos se colidem, em um termo mais simples, batem um no outro. Em termos físicos, colisão é ação onde dois corpos se chocam, causando uma troca de energia e momento em consequência de sua interação.

Tais corpos, podem ser de natureza macroscópica, ou mesmo pertencer à escala atômica ou subatômica. 

O ponto de partida, por assim dizer, é o que acontece antes do momento de colisão, a qual a interação entre elas é desprezível.

Se movimentam como partículas livres, em movimento retilíneo uniforme.

As forças de contato que atuam em uma colisão, são muito intensas, devido ao tempo de colisão.

O efeito que uma força impulsiva causa, pode ser medido através do impulso que a mesma produz:

\[\frac{dp_1}{dt}= F_{12}=-F_{21}=-\frac{dp_2}{dt}\]

$F_{12}$ e $F_{21}$ obedecem a Terceira Lei de Newton.

Integrando as equações, temos:

\[\int_{t_i}^{t_f}\frac{dp_1}{dt}dt=\int_{p_{i1}}^{p_{1f}}dp_1=p_{1f}-p_{1i}=\Delta p_1=\int_{t_i}^{t_f}F_{12}dt=-\int_{t_i}^{t_f}F_{21}dt=-\Delta p_2\]

Partindo deste princípio, vêm as colisões diversas, como a elástica, que se caracteriza pela conservação da energia cinética e do momento linear dos corpos envolvidos. Para ser mais simples, após o choque, a velocidade dos corpos, faz com os mesmo mudem de direção.

Nestas condições, temos as equações de conservação da energia e de momento, respectivamente:

\[p_i=p_f=M_a V_{ia}+M_b V_{ib}=M_a V_{fa}+M_b V_{ib}\]

\[E_i=E_f=\frac{1}{2}M_a V_{ia}^2+\frac{1}{2}M_b V_{ib}^2=\frac{1}{2}M_a V_{fa}^2+\frac{1}{2}M_b V_{fb}^2\]

Em seguida, temos a colisão inelástica, na qual a situação é inversa. Nela não ocorre a conservação da energia cinética, a qual, sofre transformação, neste caso, em energia térmica, a qual irá ocasionar o aumento de temperatura dos corpos em questão.

Na colisão perfeitamente inelástica, ocorre a perda máxima de energia cinética, ou seja, os corpos seguem unidos como um único corpo com a massa igual a soma das massas antes da colisão:

\[p_i=p_f=M_a V_{ia}+M_b V_{ib}=(M_a+M_b)V_f\]

\[V_f=\frac{M_a V_{ia}+M_b V_{ib}}{M_a+M_b}\]

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana iniciaremos o assunto de "Rotações". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 168 á 181. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] https://propg.ufabc.edu.br/mnpef-sites/leis-de-conservacao/colisoes/

Conservação do Momento Linear

 Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Na Física, existem muitas grandezas conservadas, as quais, são usadas para fazer previsões de situações, que fossem feitas de outras formas, seria mais complicada, uma delas é a Conservação do Momento.

Sabe-se  que algo que se conserva, não pode ser mudado, logo na física, não seria diferente. Tem-se uma variável qualquer de uma equação que representa uma grandeza conservadora, é constante por muito tempo. A mesma, terá o mesmo valor, do começo ao fim.

Vamos considerar dois corpos distintos que interagem entre si através de forças de contato, a equação tem-se como:

\[\frac{dp_{1}}{dt}=f_{1}\]

\[\frac{dp_{2}}{dt}=f_{2}\] o qual, $p_{1}$ e $p_{2}$ correspondem aos momentos dos corpos 1 e 2, respectivamente e $f_{1}$ e $f_{2}$, são as forças de contato aos quais os corpos são sujeitos. Com isso, se faz possível fazer a soma membro por membro, da forma que fica:

\[\frac{dp}{dt}= f_{1}+f_{2},\]

onde o momento se conserva, ou seja, $\frac{dp}{dt}=0$. O que resulta

\[\frac{dp}{dt}=0=f_{1}+f_{2}\]

É dito que, a força externa $f_{1}$ atua sobre o corpo 1, assim como a força externa $f_{2}$ atua sobre o corpo 2.

Aliás, você deve estar se perguntando "Por que momento é conservado?".  A conservação do momento é na verdade uma consequência direta da 3ª lei de Newton.

Considere uma colisão entre dois objetos, objeto A e objeto B. Quando os dois objetos colidem, há uma força em A devido a $F_{AB}$, mas por causa da terceira lei de Newton, há uma força igual na direção oposta, em B devido a $F_{BA}$.

As forças agem entre os objetos quando eles estão em contato. O período em que os objetos estão em contato $t_{AB}$ e $t_{BA}$ varia de acordo com as especificidades da situação. Por exemplo, seria maior para duas bolas moles do que para duas bolas de bilhar. No entanto, o tempo deve ser igual para ambas as bolas. Consequentemente, o impulso experimentado pelos objetos A e B deve ser igual em grandeza e em sentido contrário.

$$F_{AB}\cdot t_{AB}=-F_{BA}\cdot t_{BA}.$$

Se lembrarmos que o impulso é equivalente a uma mudança no momento, segue-se que a mudança nos momentos dos objetos é igual mas em direções opostas. Isso pode ser também expresso como a soma da mudança dos momentos sendo igual a zero.

$$m_{a}\Delta v_{A}=-m_{B}\Delta v_{B}\longrightarrow m_{a}\Delta v_{A}+m_{B}\Delta v_{B}=0.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Colisões". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] https://pt.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum/momentum-tutorial/a/what-is-conservation-of-momentum

[3] https://www.youtube.com/watch?v=wXewT_-jA5M