Leis de Kepler

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Johannes Kepler (1571 - 1630) foi assistente de Tycho Brahe e seu sucessor no observatório. Kepler foi uma personalidade extremamente curiosa, motivado por uma firme convicção, de que o universo é construído de acordo com um plano matemático cuja estrutura pode ser descrita por argumentos de perfeição e "harmonia das esferas".

1ª Lei de Kepler (lei das órbitas):

"As órbitas descritas pelos planetas em redor do sol são elipses, com o sol em um dos focos"

Se $a$ é o semieixo maior de uma elipse e $c$ a semidistância focal, a razão $e=c/a$ chama-se excentricidade da elipse. Para $e=0$ a elipse se degenera num círculo; quanto maior for $e$, mais achatada será a elipse.

Excentricidade

2ª Lei de Kepler (lei das áreas):

"O raio vetor que liga um planeta ao sol descreve áreas iguais em tempos iguais"

Assim, num dado intervalo de tempo $t$, o planeta descreve uma porção maior da órbita quando está no periélio (posição mais próxima do sol) do que no afélio (posição mais distante do sol).

Segunda lei de Kepler

3ª Lei de Kepler (lei dos períodos):

"Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias médias ao sol"

Assim, se $T_{1}$ e $T_{2}$ são períodos de revolução de dois planetas cujas órbitas têm raios médios $R_{1}$ e $R_{2}$ respectivamente, a 3ª lei afirma que 

$$(T_{1}/T_{2})^{2}=(R_{1}/R_{2})^{3}.$$

Antes de partimos, tenho uma curiosidade para vocês, caros leitores. Kepler foi autor de uma das primeiras obras de ficção científica chamada de "Somnium", onde descreve uma viagem à lua.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem finalizaremos a discussão sobre Gravitação, desta vez abordando a Lei da Gravitação Universal de Newton. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

A Cosmologia na Renascença

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje continuaremos a discussão sobre Gravitação, desta vez abordando a Cosmologia na Renascença, até antes do desenvolvimento das Leis de Kepler. Nas próximas duas postagens finalizaremos o tema com as Leis de Kepler e a Lei da Gravitação Universal de Newton.

A Renascença descreve o período da história europeia que vai do início do século XIV até o final do século XVI. O termo “renascença” se originou da palavra italiana “rinascita”, que literalmente significa “renascer”, e descreve as mudanças radicais que ocorreram na cultura europeia durante estes séculos. É nesta época que vemos o desaparecimento da Idade Média e, pela primeira vez, a incorporação à sociedade dos valores do mundo moderno. Neste período vemos a exploração do globo terrestre com as grandes navegações feitas por portugueses e espanhóis. Vemos também um incrível desenvolvimento da expressão artística, com Leonardo da Vinci (1452-1519), Rafael Sanzio (1483-1520), Ticiano Vecellio (1490?- 1576), Michelangelo di Lodovico Buonarroti Simoni (1475-1564) e também das ciências com Nicolau Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601), Johannes Kepler (1571-1630) e Galileu Galilei (1564-1642). 

Nicolau Copérnico (1473-1543):

Copérnico começou então a imaginar se o modelo de Ptolomeu poderia estar realmente

correto. Seus estudos revelaram que na antiguidade, entre os gregos, havia teorias rivais sobre os cosmos - incluindo até mesmo aquela de Aristarco de Samos (310-230 a.C.) que declarava que a Terra se movia em torno do Sol. Ele ficou intrigado com a noção de um sistema planetário heliocêntrico, ou seja, centrado no Sol. Testando essa ideia com suas próprias observações notando que ela concordava com as evidências observacionais de um modo muito mais simples do que a solução de Ptolomeu. Assim, para fugir dos problemas apresentados pelo modelo de Ptolomeu, Copérnico desenvolveu um modelo heliocêntrico do Sistema Solar. Ao contrário do que é comumente afirmado, Copérnico não tinha observações novas e muito mais precisas que exigissem o abandono da velha teoria de Ptolomeu. Foi a atração por uma maior harmonia matemática que o fez procurar algo diferente de Ptolomeu. Na opinião de Copérnico, quando Ptolomeu introduziu o movimento em torno do ponto equante em sua teoria, ele violou o princípio de que os corpos celestes deveriam se mover segundo um movimento circular uniforme. Além disso, na teoria heliocêntrica desenvolvida por Copérnico vários fenômenos observados ocorriam (quase) naturalmente, ao contrário do que acontecia na teoria de Ptolomeu onde esses fenômenos sempre precisavam ser ajustados. O modelo heliocêntrico de Copérnico mantinha a noção de movimento circular perfeito, mas colocava o Sol no centro, além de estabelecer a ordem correta dos planetas a partir do Sol.

O modelo proposto por Copérnico, um grande tratado matemático, ficou pronto em 1530, mas só foi publicado em 1543, ano de sua morte, em um livro chamado De Revolutionibus Orbium Coelestium (“Sobre as Revoluções das Esferas Celestes”). O ajuste não era ainda perfeito porque Copérnico ainda supunha que os planetas se moviam em órbitas circulares - um erro que seria futuramente corrigido por Johannes Kepler (1571-1630). Entre os pontos que Copérnico propôs em seu livro “De Revolutionibus Orbium Coelestium” estão:

• O Sol é o centro do Sistema Solar.
• A Terra e os planetas descrevem órbitas circulares em torno do Sol.
• O dia e a noite resulta da rotação da Terra em torno de seu eixo.
• Mercúrio e Vênus estão mais próximos ao Sol do que a Terra.
• Somente três movimentos da Terra são necessários:
• Rotação diária em torno de seu eixo.
• Revolução anual em torno do Sol.
• Oscilação ou libração da Terra em torno do seu eixo, explicando a precessão dos equinócios.

Copérnico coloca os planetas visíveis a olho nu na sequência correta a partir do Sol, ou seja, Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno. Em 1616 o trabalho de Copérnico “De Revolutionibus” foi banido pela Igreja Católica como heresia. 

Thomas Digges (1543-1595):

Thomas Digges acreditava que a teoria heliocêntrica de Copérnico estava certa. Baseado nisso ele reconheceu que essa esfera de estrelas não era logicamente necessária em um universo onde a Terra tinha um movimento de rotação. Ele então preferiu remover a borda externa do modelo e dispersou as estrelas fixas por todo o espaço não limitado. No entanto, Digges está o tempo todo dominado pela concepção religiosa de um “céu” situado no espaço.

Giordano Bruno (1548-1600):

Giordano Bruno nasceu em Nola, perto de Nápoles, Itália. Ele tornou-se religioso dominicano e estudou a filosofia aristotélica. Atraído pelo pensamento não ortodoxo, Giordano Bruno logo teve que deixar Nápoles, em 1576, e Roma, em 1577, para escapar da Inquisição, indo para a França, onde viveu até 1583. Depois se mudou para Londres onde permaneceu até 1585. Bruno estava vivendo em Londres quando conheceu o livro de Thomas Digges, adotando prontamente as ideias ali contidas, ou seja, a de um Universo sem contorno, e voltou sua atenção para a conclusão lógica, previamente mostrada por Nicholas de Cusa, de que o Universo também não possui centro.

Giordano Bruno procurou desenvolver os ensinamentos de Copérnico de uma maneira filosófica, sendo sua maior contribuição divulgar, com veemência, essas ideias. Ele foi um forte crítico das doutrinas de Aristóteles e Ptolomeu tornando-se um dos grandes defensores das teorias de Demócrito de Abdera (460-370 a.C.) e Epicuro de Samos (341-270 a.C.), rejeitando os ensinamentos de Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.) que diziam que o Universo era finito, além de criticar a ideia de que havia um centro absolutamente determinado no Universo, devendo, por isso, ser considerado o principal representante da doutrina do Universo descentralizado, infinito e infinitamente povoado. Ele não só a apregoou em toda a Europa Ocidental com o fervor de um evangelista como foi o primeiro a formular sistematicamente as razões pelas quais ela, mais tarde, foi aceita pela opinião pública.

Tycho Brahe (1546-1601):

Também chamado Tyge Brahe, este astrônomo dinamarquês, descendente de família nobre, é lembrado principalmente por suas meticulosas observações, feitas com instrumentos que ele mesmo desenhou antes do advento do telescópio. Tycho Brahe observou uma supernova em 1572 tendo publicado um livro sobre este fenômeno em 1573, com o nome “De Nova Stella”, onde mostrava suas observações e concluía que as próprias estrelas podiam mudar. As medições dos brilhos da supernova que ele obteve mostraram, claramente, que ela era um objeto variável. Brahe hesitou muito em escrever este livro porque, naquela época, era considerado impróprio um nobre escrever livros.

Tycho Brahe foi talvez o maior observador de todos os tempos. Ele desenvolveu novos instrumentos e novas técnicas para realizar observações. Kepler usou as observações de Tycho Brahe para deduzir as suas leis das órbitas planetárias. Foi a precisão das observações de Brahe que permitiram que Kepler determinasse corretamente que as órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um dos focos. As medições das posições planetárias feitas por Tycho Brahe estavam em desacordo com o modelo de Ptolomeu. Baseado nisto Brahe, que já era conhecido em toda a Europa, desenvolveu o seu próprio modelo do Sistema Solar no qual o Sol e a Lua estavam em órbita em torno da Terra, mas os planetas restantes estavam em órbita em torno do Sol. Na verdade o modelo de Tycho Brahe era uma modificação geocêntrica do modelo de Copérnico. Seu sistema era inteiramente equivalente ao sistema de Copérnico, no sentido de que os movimentos relativos de todos os corpos celestes (exceto as estrelas) são os mesmos nos dois sistemas. Embora a cosmologia de Tycho Brahe tenha sido logo esquecida, sua grande reputação atual resulta do fato dele ter fornecido as bases observacionais que permitiram Kepler desenvolver a sua pesquisa.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão sobre Gravitação, desta vez abordando as Leis de Kepler. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Momento de Inércia

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Nesta semana finalizamos o assunto de rotações com o conceito de momento de inércia.

Consideremos um disco pequeno de massa $m$ que esta deslizando sem atrito sobre uma mesa horizontal, girando em torno de um ponto $O$ da mesa, ao qual esta ligado por um fio que passa por um furo em $O$ e é puxado verticalmente para baixo com uma força $F$.

A força transmitida para o disco é central, na direção de $O$ de tal forma que o momento angular deve se conservar. A força que está atuando no disco é a força centrípeta, de magnitude $F=mv^{2}/r$, onde $r$ é o raio do círculo descrito pelo movimento.

Figura 01: Disco puxado por um fio

Ao puxar o fio, o raio diminuirá para $r+\Delta r$ ($\Delta r<0$), conforme a figura. Seja $v+\Delta v$ o novo valor da velocidade. Pelo teorema do trabalho e energia, temos para variações infinitesimais

$$\Delta T=\frac{1}{2}m(v+\Delta v)^{2}-\frac{1}{2}mv^{2}\approx mv\Delta v=\Delta W=-\frac{mv^{2}}{r}\Delta r,$$ implicando que

$$-mv\frac{\Delta r}{r}=m\Delta v\longrightarrow mr\Delta v+mv\Delta r=0.$$

O que equivale dizer $$\Delta(mrv)=\Delta l=0.$$

De modo que o momento angular se conserva, como era esperado. Perceba que a velocidade de rotação aumenta conforme $r$ diminui. Como $v=\omega r$, temos

$$l=mvr=mr^{2}\omega=I\omega,$$ onde $I=mr^{2}$ se chama "momento de inércia da partícula em relação ao ponto $O$.

Com isso, temos a energia cinética para essa situação $$T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}r^{2}\longrightarrow T=\frac{1}{2}I\omega^{2}.$$

A conservação do momento angular neste exemplo implica que $I\omega=\text{constante}.$ Ao aproximar a massa $m$ do centro, diminuímos $r$ e , por conseguinte, o momento de inércia $I$; logo $\omega$ tem que aumentar inversamente proporcional a $r^{2}$, por isso na energia cinética aparece $\omega^{2}.$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana iniciaremos o assunto de "Gravitação". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Momento Angular

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando com a discussão sobre rotações, hoje falamos sobre momento angular. Mas, para isso, lembramos primeiro de outro conceito relacionado.

Um conceito importante na dinâmica de uma partícula é o do momento linear $\vec{p}$, relacionado com $\vec{F}$ pela segunda lei de Newton.

Na dinâmica de rotação de um partícula $P$ em torno de um ponto $O$. Temos o torque atuando na rotação definido como $\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$, onde $\vec{r}=\vec{OP}$. Como o momento da partícula está relacionado com $\vec{F}$ pela $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$, obtemos, multiplicando vetorialmente  por $\vec{r}$ ambos os lados,

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}= \vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}.$$ Temos, pela regra do produto das derivadas,

$$\vec{r}\times\frac{\vec{dp}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})-\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p}),$$ como $\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}$ e $\vec{p}=m\vec{v}$, temos que $\vec{v}\times (m\vec{v})=0.$ Logo, obtemos que 

$$\vec{\tau}=\frac{d\vec{l}}{dt},$$ onde $$\vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}$$ é o que se chama de momento angular da partícula em relação ao ponto $O$.

Podemos dizer que o momento angular $\vec{l}$ está para o momento linear $\vec{p}$ assim como o torque $\vec{\tau}$ está para a força $\vec{F}$. Um detalhe a ser levado em conta é a presença do ponto de referência $O$, pois tanto $\vec{\tau}$ quanto $\vec{l}$ variam, em geral, se mudarmos o ponto $O$, de modo que devemos especificar esse ponto.

Perceba que $\vec{r}$ é perpendicular a $\vec{p}=m\vec{v}$, pois $\frac{\vec{dr}}{dt}\perp\vec{r}$, como vocês já viram nas postagens anteriores, mas especificamente em "Movimento Circular Uniforme".

Uma consequência imediata da equação $\vec{\tau}=\frac{d\vec{l}}{dt}$ é a lei de conservação do momento angular de uma partícula

$$\vec{\tau}=0 \rightarrow \vec{l}=\text{constante}.$$

Como o momento angular é um vetor, não apenas seu módulo irá se conservar, mas também a sua direção e sentido.

Para uma partícula sujeita a forças centrais, o torque em relação a convergência das forças centrais $O$ é nulo, e consequentemente o momento angular se conserva.

A primeira implicação não trivial deste resultado é que o movimento é plano, ou seja, a órbita de uma partícula sob ação de forças centrais permanece no mesmo plano por todo tempo.

Consideremos agora uma porção infinitesimal de uma trajetória correspondente a um deslocamento $\vec{dr}$ a partir de um ponto $P.$ Neste deslocamento o raio $\vec{r}$ percorre uma área indicada na figura, cujo seu valor é dado por

$$dA=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\vec{dr}\vert.$$

Esta área é a metade da área do paralelogramo formado pelos vetores $\vec{r}$ e $\vec{dr}$.

A taxa de variação com o tempo da área varrida pelo raio, que se chama de velocidade areolar, é dado por

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt}\vert=\frac{1}{2}\vert\vec{r}\times\vec{v}\vert=\frac{1}{2m}\vert\vec{r}\times\vec{p}\vert=\frac{\vert\vec{l}\vert}{2m},$$ ou seja, a velocidade areolar é diretamente proporcional à magnitude do momento angular.

Figura 01: Área percorrida

Uma curiosidade interessante. No movimento sob a ação de forças centrais, $\vec{l}$ se conserva, de modo que a velocidade areolar é constante. Assim, o raio vetor que liga a partícula ao centro de forças descreve áreas iguais em tempos iguais. Como a gravitação é uma força central, veremos que a segunda lei de Kepler nada mais é que a lei de conservação do momento angular.

Mais uma curiosidade. Quando um planeta está no periélio a sua velocidade $v_{p}$ é maior que a velocidade no afélio $v_{a}$, e isso é mostrado na lei de conservação do momento angular, ou seja,

$$\vert\vec{l}\vert=mv_{p}r_{p}=mv_{a}r_{a} \longrightarrow \frac{v_{p}}{v_{a}}=\frac{r_{a}}{r_{p}}.$$

Você deve esta se perguntando "e o seno do ângulo entre os vetores $\vec{r}$ e $\vec{v}$?" lembre-se que o ângulo entre esses vetores é um ângulo reto.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Momento de Inércia". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Referencial Acelerado e Forças de Inércia

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje finalizamos nossa discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais.

Considere um movimento de $S'$ uniformemente acelerado com relação a $S$.

Pela figura abaixo, o vetor posição $\vec{r^{'}}$ de um ponto $P$ em relação a $S'$ está relacionado com $\vec{r}$ correspondente em $S$ por

$$\vec{r^{'}}=\vec{r}-\vec{r_{0^{'}}}.$$

Forças inerciais

Se $\vec{A}$ é a aceleração do MRUV de $S'$ em relação a $S$ e $\vec{V_{0}}$ é a velocidade inicial, supondo que $\vec{r_{0^{'}}}=0$ quando $t=0$, a equação da posição em relação ao tempo vista no movimento retilíneo uniformemente variado é dada por

$$\vec{r_{0^{'}}}=\vec{V_{0}}t+\frac{1}{2}\vec{A}t^{2}.$$

De modo que 

$$\vec{r^{'}}=\vec{r}-\vec{V_{0}}t-\frac{1}{2}\vec{A}t^{2},$$

suponto sempre que $t'=t$. 

Derivando em relação ao tempo, obtemos a transformação das velocidades:

$$\vec{v^{'}}=\vec{v}-\vec{V_{0}}-\vec{A}t.$$

Derivando em relação ao tempo, obtemos a transformação das velocidades:

$$\vec{a^{'}}=\vec{a}-\vec{A},$$

lembre-se que $\vec{A}$ é constante, ou seja, a aceleração de uma partícula em relação a $S'$ difere de sua aceleração em relação a $S$ pelo termo constante $-\vec{A}$.

A cada instante a transformação é uma translação espacial de modo que, se você pegar uma outra partícula $H$, a distância entre $H$ e $P$ MUTUAMENTE não se altera. Portanto, para as forças de interação entre partículas, temos:

$$\vec{F^{'}}=\vec{F}= m\vec{a},$$ porém, temos pelas nossas considerações que $\vec{a}\ne\vec{a'}\longrightarrow \vec{a}=\vec{a'}+\vec{A}$, de modo que

$$\vec{F'}=m\vec{a'}+m\vec{A}.$$

Portanto, a 2ª lei de Newton não é válida em um referencial não-inercial $S'$, em movimento retilíneo uniformemente acelerado em relação a um referencial inercial $S$. Aparece um novo termo proporcional a massa inercial e com dimensões de uma força, porém tal força não corresponde a nenhuma força física, resultante da interação entre as partículas. Está força, $\vec{F^{*}}=m\vec{A}$, se chama "força de inércia".

E é isso aí, pessoal. Com esta postagem finalizamos o conteúdo visto na disciplina de Física I na faculdade. Continuaremos com nossas postagens abordando outros assuntos de Física no futuro. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

A Transformação de Galileu

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje iniciamos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais, mas para entender a diferença entre referenciais inerciais e não-inerciais, precisamos primeiro entender como mudar de um referencial para outro.

Até aqui você sempre utilizou as leis da mecânica para referenciais inerciais, ou seja, referenciais que estão relativamente parados e/ou movimento retilíneo uniforme. Um referencial deve ser visualizado como algo concreto: por exemplo, um sistema cartesiano de eixos, que podem ser tomadas de comprimento unitário, para medir as coordenadas, e algo para medir o tempo, como um relógio.

O problema a ser tratado é a passagem de um referencial inercial, designado por $S$, para um referencial não-inercial $S'$, onde $S'$ está em movimento em relação a $S$.

Considerando, primeiramente, o caso em que $S'$ se move em relação a $S$ com movimento retilíneo uniforme de velocidade $V$ na direção $x$. Neste caso, a lei da inércia é válida para $S'$.

A relação entre as coordenadas de um ponto $P$ em um dado instante $t$ (vamos supor que os referenciais coincidem no instante inicial) em $S'$ e $S$ é baseada na seguinte hipótese: o movimento retilíneo uniforme não afeta as distâncias, ou melhor ainda, não afeta as unidades de comprimento empregadas para medir as coordenadas.

Nestas condições, conforme mostra a figura abaixo, a transformação de Galileu de $S$ para $S'$ consiste, no instante $t$, na translação espacial $vt$ ao longo de $x$:

$$x'=x-Vt$$

$$y'=y$$

$$z'=z$$

$$t=t'$$

Essa transformação é conhecida como "transformação de Galileu espacial".

Transformação de Galileu

As equações acima mostram, imediatamente por derivação, as leis de movimento para esta transformação. Perceba que a derivada segunda de $x'$, ou seja, $\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=a_{x}'$ é igual a $a_{x}$ (aceleração no eixo $x$ em relação ao referencial $S$). Mostrando que as componentes da aceleração não se alteram.

A extensão das equações de movimento para o caso geral, em que $S'$ se move em relação a $S$ com MRU em qualquer direção do espaço, é dada substituindo a forma escalar por vetores. Assim, as equações de movimento são:

$$\vec{x^{'}}=\vec{x}-\vec{V}t$$

$$\vec{v^{'}}=\vec{v}-\vec{V}$$

$$\vec{a^{'}}=\vec{a}$$

$$t=t'$$

Talvez você esteja se perguntando "e as leis de Newton? como que fica a 2ª lei de Newton no referencial $S'$?". Novamente se faz uma hipótese, que perdurou bastante tempo até Einstein chamar a atenção sobre tal hipótese, a saber, que a massa inercial de uma partícula em relação a $S'$ é a mesma que em $S$: $m'=m$

Todas as equações acima implicam que, em $S'$, a 2ª lei de Newton tem a forma $$\vec{F^{'}}=m'\vec{a^{'}}$$

ou seja, tem a mesma forma que em $S$, o que exprime que a 2ª lei de Newton é covariante por transformação de Galileu.

Como a 2ª lei de Newton é o principio fundamental da dinâmica, podemos dizer que as leis da mecânica Newtoniana são as mesmas em qualquer referencial inercial. Mas isso é um caso particular.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão, desta vez "Referenciais Não-Inerciais e Forças de Inércia". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

Um Pouco da História da Gravitação

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje iniciamos a discussão sobre Gravitação. Nesta postagem abordaremos o pensamento de alguns filósofos sobre o Universo, parando na Idade Média. Nas próximas postagens continuaremos a discussão. 

É importante frisar o desenvolvimento dos modelos do sistema solar, que para à época foi o universo inteiro.

O pensamento no Império Romano

A época mais brilhante da história da ciência ocidental, antes do século XVII, foi o período da civilização helenística. Muitas realizações científicas da época moderna dificilmente teriam ocorrido sem as descobertas dos filósofos gregos. Quando a filosofia grega se fundiu com a ciência já conhecida dos caldeus e egípcios houve um grande estímulo ao desenvolvimento intelectual. Outro fator de desenvolvimento científico foi o novo interesse do povo grego pelo conforto, levando-o à procura de conhecimentos práticos capazes de solucionar os problemas do dia a dia. E esse conhecimento exigia o desenvolvimento da astronomia, física e matemática. Ao mesmo tempo em que a civilização grega florescia também crescia a civilização romana. Em 265 a.C. Roma já havia conquistado e anexado toda a Itália. Logo Roma envolveu-se nas chamadas guerras púnicas com a cidade-estado Cartago derrotando-a totalmente (após três guerras) em 146 a.C. Como o rei da Macedônia havia sido aliado de Cartago, Roma invadiu e ocupou toda a Grécia.

Roma certamente sofreu uma grande influência da civilização helenística, mas várias partes da cultura grega não foram adotadas pelos romanos. No entanto, o epicurismo e o estoicismo dos gregos foram adotados por muitos romanos das classes mais elevadas. O mais famoso epicurista romano foi Tito Lucrécio Caro (98-~55 a.C.), cujo poema didático “Da Natureza das Coisas” procurava explicar o Universo de forma a libertar o ser humano do medo do sobrenatural, que ele considerava o principal obstáculo à obtenção da paz de espírito. Lucrécio dizia que os mundos, e todas as coisas contidas neles, eram resultados fortuitos de inúmeras combinações de átomos. O estoicismo foi introduzido em Roma por Panécio de Rodes (185-100 a.C.) aproximadamente no ano 140 a.C. Seu mais ilustre representante foi Marco Túlio Cícero (106-43 a.C.), um dos maiores pensadores de Roma.  

Com o desenvolvimento do Cristianismo passamos a viver em um mundo inequivocamente teocêntrico. Esse teocentrismo é garantido pela evolução e estruturação de uma nova instituição que soube chegar ao poder: a Igreja Católica. Com a sua criação tudo muda no mundo civilizado ocidental. Aos poucos a Igreja deixa de se concentrar no domínio religioso e estende sua influência a todos os domínios da vida europeia. A Igreja passa a ditar as regras do convívio social, econômico, artístico, cultural e, porque não, político. Com o acúmulo de enorme poder, nada mais natural que a Igreja passasse a ter como ponto principal conservá-lo. Isso fez com que surgisse um vergonhoso totalitarismo religioso: a Igreja decretou que suas “verdades” não estavam sujeitas a critica e quem as desafiasse, mesmo que isso fosse apenas discutir o que era considerado sagrado pela Igreja, teria se confrontar com os guardiões da fé, a famigerada Inquisição.

Hipátia (Hipácia) de Alexandria (370-415):

Hipátia (ou Hipácia; em grego: Υπατία, Ypatía) de Alexandria foi uma matemática e filósofa neoplatônica, nascida em 370 e assassinada em 415. O fato de Hipátia ser uma filósofa pagã (num meio predominantemente cristão) é tido como um dos fatores que contribuíram para o seu assassinato. Porém, estudos mais recentes, como o da historiadora Maria Dzielska, salientam que Hipátia foi assassinada por razões políticas, no contexto da luta pelo poder em Alexandria. 

“Hipátia distinguiu-se na matemática, na astronomia, na física e foi ainda responsável pela escola de filosofia neoplatônica - uma extraordinária diversificação de atividades para qualquer pessoa daquela época. Nasceu em Alexandria em 370, numa época em que as mulheres tinham poucas oportunidades e eram tratadas como objetos. Hipátia moveu-se livremente e sem problemas nos domínios que pertenciam tradicionalmente aos homens. Segundo todos os testemunhos, era de grande beleza. Tinha muitos pretendentes mas rejeitou todas as propostas de casamento. A Alexandria do tempo de Hipátia - então desde há muito sob o domínio romano - era uma cidade onde se vivia sob grande pressão. A escravidão tinha retirado à civilização clássica a sua vitalidade, a Igreja Cristã consolidava-se e tentava dominar a influência e a cultura pagãs.” (Carl Sagan, série: cosmos, 1980)

O Universo na Idade Média

Por volta do ano 1000 d.C. os modelos do Universo consideravam que a Terra estava no centro de tudo e que o céu era uma tampa com buracos. A luz proveniente de fogos ardendo no lado de fora brilharia através dos buracos e alcançaria a Terra como a luz das estrelas. A Figura mostra como era a visão do Universo por volta do ano 1000 d.C. Em resumo, a Cosmologia da Idade Média tem as seguintes características:

• A ciência grega tinha estabelecido que Terra era o apex (o ponto mais alto) do Universo em um sentido físico.
• A Igreja institucional elaborou um significado desta interpretação nas Sagradas Escrituras e adotou o esquema de Ptolomeu.
• Abaixo da Terra estava o inferno, evidenciado pelos vapores abrasadores que é lançado pelos vulcões.
• Acima estavam sete esferas nas quais, o Sol e os planetas giram em torno da Terra. 
• A oitava esfera era uma abóbada imóvel sobre a qual as estrelas se penduravam como lâmpadas.
• A nona, ou esfera cristalina, era a residência dos santos. 
• Acima de tudo, na esfera número dez, estava a residência de Deus Todo Poderoso, chamada Paraíso ou Firmamento.
• Esta teoria de cosmologia tendeu a ser cada vez mais aceita como fato.

O universo por volta do ano 1000 d.C.

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem continuaremos a discussão sobre Gravitação, desta vez abordando as especulações desenvolvidas durante o período da Renascença. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Gravitação Universal

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Hoje finalizaremos a discussão sobre Gravitação com a Lei da Gravitação Universal de Newton. 

Gravitação Universal

Isaac Newton nasceu em 1642, no dia do natal, foi um matemático e físico (descrito em seus dias como um "filósofo natural"), onde é amplamente reconhecido como um dos cientistas mais influentes de todos os tempos e como uma figura-chave na Revolução Científica. Seu livro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), publicado pela primeira vez em 1687, lançou as bases da mecânica clássica. Newton também fez contribuições seminais à óptica e compartilha crédito com Gottfried Wilhelm Leibniz pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal, também desenvolveu o cálculo integral.

Em Principia, Newton formulou as leis do movimento e da gravitação universal que criaram o ponto de vista científico dominante até serem substituídas pela teoria da relatividade de Albert Einstein. Newton usou sua descrição matemática da gravidade para provar as leis de movimento planetário de Kepler, erradicando a dúvida sobre a heliocentricidade do Sistema Solar. Demonstrou que o movimento dos objetos na Terra e nos corpos celestes poderia ser explicado pelos mesmos princípios. 

A excentricidade das órbitas elípticas dos planetas eram pequenas demais, de modo que podemos tomar a órbita como circular, com muito boa aproximação.

Órbita circular

Para uma órbita circular, a 2ª lei de Kepler implica que o movimento é uniforme. Neste caso, a aceleração é centrípeta, e é dada, para uma órbita circular de raio $R$ e de velocidade angular $\omega=2\pi/T$, onde $T$ é o período, por

$$\vec{a}=-\omega^{2}R\hat{r}=-4\pi^{2}\frac{R}{T^{2}}\hat{r},$$ onde $\hat{r}$ é o vetor unitário na direção radial. Se $m$ é a massa do planeta, a força que atua sobre ele é dado pela 2ª lei de Newton

$$\vec{F}=m\vec{a}=-4\pi^{2}m\frac{R}{T^{2}}\hat{r}.$$ Perceba que é uma força atrativa.

Pela 3ª lei de Kepler, temos $\frac{R^{3}}{T^{2}}=C=\text{constante}$. Portanto podemos escrever a expressão acima como

$$\vec{F}=-4\pi C\frac{m}{R^{2}}\hat{r}.$$

Vemos assim que a 3ª lei de Kepler leva a conclusão de que a força gravitacional caí com o quadrado da distância entre os corpos. A equação acima também mostra que a força é proporcional à massa do planeta. Pela 3ª lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária sobre o sol, a qual deve também ser proporcional à massa $M$ do sol. Portanto, a lei da gravitação universal é expressa por

$$\vec{F}=-G\frac{mM}{R^{2}}\hat{r},$$ onde $G$ chama-se constante universal e tem seu valor aproximadamente como $6,6739\times10^{-11}$Nm$^{2}$/kg$^{2}$, característica da força gravitacional.

Talvez você esteja se perguntando como que se obtém a constante gravitacional. Bom, a primeira experiência elaborada com este fim foi feito por Henry Cavendish em 1798. Este experimento consiste em um par de esferas de massa $m$, nas extremidades de uma barra, onde é suspenso pelo centro da barra por uma fibra fina em uma posição de equilíbrio, a figura a seguir representa este experimento.

Experimento para se obter a constante gravitacional

Trazem-se então outras duas esferas de massa $M$ à mesma distância das esferas de massa $m$, o que produz um torque, pelas forças gravitacionais entre cada par de esferas. Esse torque faz girar a barra de um angulo $\theta$, produzindo uma torção correspondente da fibra, que é calibrada de forma a poder medir o torque, e conseguinte as forças gravitacionais, pelo ângulo de torção. Este ângulo é medido através de um desvio de um feixe de luz refletido por um espelho preso no fio (alavanca ótica).

E é isso aí, pessoal. Na próxima postagem iniciaremos a discussão sobre forças de inércia e referenciais não-inerciais. Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Torque

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando com o tratamento das rotações, tratando hoje da dinâmica das rotações, vamos utilizar esta analogia para procurar uma grandeza que faça um papel análogo ao da força. Uma forma de definir força no movimento linear é utilizando o conceito de trabalho $\Delta W$, ou seja, $\Delta W=\vert\vec{F}\vert\Delta x.$

O análogo de $F$ para a rotação seria então uma grandeza $\tau$ tal que $$\Delta W=\tau\Delta\theta$$ corresponda ao trabalho realizado em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta.$

Considere uma haste rígida girando em torno de um ponto fixo $O$ sob ação de uma força $F$ aplicada no ponto $P$, à distância $r$ do ponto $O$. A força $F$ faz um ângulo $\varphi$ com a extensão do segmento $\vec{OP}=\vec{r}$. Em uma rotação infinitesimal $\Delta\theta$, o ponto $P$ sofre um deslocamento $\vec{PP^{'}}$ que se confunde com a tangente ao círculo com centro em $O$ e raio $r$ no ponto $P$, sendo portanto perpendicular à direção de $\vec{r}$. Portanto a projeção de $\vec{F}$ em $\vec{PP^{'}}$ é $$\vert\vec{F}\vert\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\varphi\bigg)=\vert\vec{F}\vert\sin(\varphi),$$ e sabendo que para um deslocamento angular infinitesimal $\Delta\theta$, $\vert\vec{PP^{'}}\vert$ se confunde com o arco de círculo com centro em $O$ e raio $r$. Portanto, temos que a magnitude do deslocamento do ponto de aplicação é $\vert\vec{PP^{'}}\vert\approx\vert\vec{r}\vert\Delta\theta,$ de modo que o trabalho ao longo deste deslocamento é 

$$\Delta W=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}\Delta\theta.$$

Figura 01: Haste em rotação

Perceba, que ao comparar $\Delta W=\tau\Delta\theta$ com o resultado acima, concluímos que

$$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$$ deve ser o análogo de $F$ para rotações em torno de $O.$

O resultado obtido acima, pode ser reescrito de duas maneiras, que destacam propriedades distintas.

1ª - Decompondo $\vec{F}$ em suas componentes $\vec{F}_{//},$ paralelo à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\cos{\varphi},$ e $\vec{F_{\perp}}$, perpendicular à direção $\vec{r}$ e de magnitude $\vert\vec{F}\vert\sin{\varphi}.$ Assim, $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}=\vert\vec{F_{\perp}}\vert\vert\vec{r}\vert.$$ Mostrando que somente a componente perpendicular da força é eficaz na produção do giro. É meio obvio, pois a componente paralela da força exerce uma tração (ou compressão, dependendo do sentido) sobre o apoio fixo.

Figura 02: Componentes da força

Podemos reescrever ainda como $$\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r_{\perp}}\vert,$$ onde $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}.$

Perceba que $\vert\vec{r_{\perp}}\vert=\vec{OQ}$ é a distancia da linha de ação $PQ$ da força no ponto $O.$ Está distância chama-se "braço de alavanca da força. É intuitivo que quanto maior for o braço da alavanca mais eficaz a força se torna em produzir a rotação.

Por isso que a maçaneta de uma porta é instalada o mais longe possível do eixo, pois assim poupamos esforço (aplicamos menos força).

Figura 03: Braço de alavanca

Vamos revisar um conceito importante para uma das definições de torque antes de demonstrar a segunda forma de reescrever a definição de torque.

O produto vetorial

O produto vetorial $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$ de dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ é o vetor definido por 

$$\vert\vec{c}\vert=\vert\vec{a}\vert\times \vert\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin{\varphi},$$ onde a direção do vetor $\vec{c}$ é perpendicular aos outros vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, o seu sentido é determinado pela ordem do produto vetorial, tal que no caso acima, visto da extremidade de $\vec{c}$, $\vec{a}$ gira aproximando-se de $\vec{b}$ no sentido anti-horário.

Note que a magnitude de $\vert\vec{c}\vert$ é também a área (paralelogramo) formada pelos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, conforme indicado na figura.

Como o sentido de rotação de $\vec{a}$ para $\vec{b}$ é oposto ao de $\vec{b}$ para $\vec{a}$, temos $$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b\times\vec{a}},$$ ou seja, o produto vetorial é anti-comutativo. Outras propriedades você pode encontrar em livros-textos de álgebra linear, recomendo "Álgebra Linear" de Steinbruch e Alfredo.

Figura 04: Produto vetorial

A grandeza $\tau$ foi introduzida como análoga à magnitude $\vert\vec{F}\vert$ de uma força, porém sabemos que na realidade a força é um vetor. Por outro lado, o ângulo formado por $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$ gera um plano delimitado pelos vetores. Assim, podemos definir o torque como um produto vetorial entre $\vert\vec{F}\vert$ e $\vert\vec{r}\vert$, "dando" ao torque propriedades de um vetor. Portanto, comparando com $\tau=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{r}\vert\sin{\varphi}$, temos a ordem do produto vetorial como sendo

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.$$

A direção e o sentido de $\vec{\tau}$ têm um significado físico importante para a rotação. No exemplo da haste (Figura 4.2) que gira num plano (o plano formado por $\vec{r}$ e $\vec{F}$), $\vec{\tau}$ é perpendicular ao plano e paralelo ao eixo de rotação. Por outro lado, visto da extremidade de $\vec{\tau}$, a rotação tem lugar no sentido anti-horário. Caso $\vec{F}$ tivesse o sentido contrário, $\vec{F'}=-\vec{F}$, o sentido de $\vec{\tau}$ se inverte ($\vec{\tau'}=-\vec{\tau}$), e o sentido de rotação também se inverte.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Momento Angular". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Rotações

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Nesta semana iniciamos o assunto de "Rotações". Como o assunto é relativamente longo e complexo, dividiremos em várias partes, cada uma cobrindo parte do assunto. Hoje trataremos do conceito de corpo rígido e da cinemática da rotação.

Começamos nossa discussão da rotação definindo as variáveis do movimento, como fizemos para a translação. As variáveis do movimento de rotação são análogas às do movimento unidimensional, e uma situação especial importante é aquela na qual a aceleração (neste caso, a aceleração angular) é constante. É possível escrever uma equação equivalente à segunda lei de Newton para o movimento de rotação, usando uma grandeza chamada torque no lugar da força. O teorema do trabalho e energia cinética também pode ser aplicado ao movimento de rotação, com a massa substituída por uma grandeza chamada momento de inércia.

Um corpo rígido corresponde a um conceito limite ideal de um corpo indeformável quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas. Um corpo é rígido quando as distâncias entre dois pontos internos quaisquer do corpo é invariável.

Se fixarmos dois pontos $A$ e $B$ de um corpo rígido, isto equivale a fixar todos os pontos da reta definida por $AB$, pois todos eles têm de manter inalteradas suas distâncias de $A$ e de $B$. Qualquer ponto fora da reta $AB$, mas interna no corpo, tem de se manter inalterada sua distância ao eixo $AB$, de modo que só pode descrever um círculo com centro nesse eixo. Logo, $AB$ é um eixo de rotação: todos os pontos descrevem círculos com centro no eixo, e giram de um mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo.

Figura 01: Configuração de um sistema que gira

A figura 01 mostra uma reta de referência, fixa ao corpo, perpendicular ao eixo de rotação e girando com o corpo. A posição angular da reta é o ângulo que a reta faz com uma direção fixa, que tomamos como a posição angular zero. Ainda na figura 01, a posição angular $\theta$ é medida em relação ao semieixo $x$ positivo. De acordo com a geometria, $\theta$ é dado por $$\theta=s/r (\text{em radianos}).$$

Aqui, $s$ é comprimento de um arco de circunferência que vai do eixo $x$ (posição angular zero) até a reta de referência, e $r$ é o raio da circunferência. 

Um ângulo definido dessa forma é medido em radianos (rad) e não em revoluções (rev) ou em graus, pois como é a razão entre dois comprimentos, o radiano é um número puro, ou seja, não tem dimensão. 

Do ponto de vista cinemático, o movimento de rotação se reduz ao movimento circular de um ponto $P$ do corpo numa secção transversal. Como há um só grau de liberdade, o ângulo de rotação $\theta$ em torno do eixo, podemos estabelecer uma analogia entre o movimento de rotação e o movimento unidimensional. Nessa analogia, temos a seguinte correspondência entre grandezas lineares e angulares.

$$(\text{Deslocamento linear})= x\longleftrightarrow \theta =(\text{Deslocamento angular})$$

$$(\text{Velocidade linear})= v=\frac{dx}{dt}\longleftrightarrow \omega=\frac{d\theta}{dt}=(\text{Velocidade angular})$$

$$(\text{Aceleração linear})= a=\frac{dv}{dt}\longleftrightarrow \alpha=\frac{d\omega}{dt}=(\text{Aceleração angular})$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana continuaremos a falar de rotações com o assunto "Torque". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Colisões

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

A palavra colisão, já fala por si só, uma ação onde dois corpos se colidem, em um termo mais simples, batem um no outro. Em termos físicos, colisão é ação onde dois corpos se chocam, causando uma troca de energia e momento em consequência de sua interação.

Tais corpos, podem ser de natureza macroscópica, ou mesmo pertencer à escala atômica ou subatômica. 

O ponto de partida, por assim dizer, é o que acontece antes do momento de colisão, a qual a interação entre elas é desprezível.

Se movimentam como partículas livres, em movimento retilíneo uniforme.

As forças de contato que atuam em uma colisão, são muito intensas, devido ao tempo de colisão.

O efeito que uma força impulsiva causa, pode ser medido através do impulso que a mesma produz:

\[\frac{dp_1}{dt}= F_{12}=-F_{21}=-\frac{dp_2}{dt}\]

$F_{12}$ e $F_{21}$ obedecem a Terceira Lei de Newton.

Integrando as equações, temos:

\[\int_{t_i}^{t_f}\frac{dp_1}{dt}dt=\int_{p_{i1}}^{p_{1f}}dp_1=p_{1f}-p_{1i}=\Delta p_1=\int_{t_i}^{t_f}F_{12}dt=-\int_{t_i}^{t_f}F_{21}dt=-\Delta p_2\]

Partindo deste princípio, vêm as colisões diversas, como a elástica, que se caracteriza pela conservação da energia cinética e do momento linear dos corpos envolvidos. Para ser mais simples, após o choque, a velocidade dos corpos, faz com os mesmo mudem de direção.

Nestas condições, temos as equações de conservação da energia e de momento, respectivamente:

\[p_i=p_f=M_a V_{ia}+M_b V_{ib}=M_a V_{fa}+M_b V_{ib}\]

\[E_i=E_f=\frac{1}{2}M_a V_{ia}^2+\frac{1}{2}M_b V_{ib}^2=\frac{1}{2}M_a V_{fa}^2+\frac{1}{2}M_b V_{fb}^2\]

Em seguida, temos a colisão inelástica, na qual a situação é inversa. Nela não ocorre a conservação da energia cinética, a qual, sofre transformação, neste caso, em energia térmica, a qual irá ocasionar o aumento de temperatura dos corpos em questão.

Na colisão perfeitamente inelástica, ocorre a perda máxima de energia cinética, ou seja, os corpos seguem unidos como um único corpo com a massa igual a soma das massas antes da colisão:

\[p_i=p_f=M_a V_{ia}+M_b V_{ib}=(M_a+M_b)V_f\]

\[V_f=\frac{M_a V_{ia}+M_b V_{ib}}{M_a+M_b}\]

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana iniciaremos o assunto de "Rotações". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 168 á 181. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] https://propg.ufabc.edu.br/mnpef-sites/leis-de-conservacao/colisoes/

Conservação do Momento Linear

 Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Na Física, existem muitas grandezas conservadas, as quais, são usadas para fazer previsões de situações, que fossem feitas de outras formas, seria mais complicada, uma delas é a Conservação do Momento.

Sabe-se  que algo que se conserva, não pode ser mudado, logo na física, não seria diferente. Tem-se uma variável qualquer de uma equação que representa uma grandeza conservadora, é constante por muito tempo. A mesma, terá o mesmo valor, do começo ao fim.

Vamos considerar dois corpos distintos que interagem entre si através de forças de contato, a equação tem-se como:

\[\frac{dp_{1}}{dt}=f_{1}\]

\[\frac{dp_{2}}{dt}=f_{2}\] o qual, $p_{1}$ e $p_{2}$ correspondem aos momentos dos corpos 1 e 2, respectivamente e $f_{1}$ e $f_{2}$, são as forças de contato aos quais os corpos são sujeitos. Com isso, se faz possível fazer a soma membro por membro, da forma que fica:

\[\frac{dp}{dt}= f_{1}+f_{2},\]

onde o momento se conserva, ou seja, $\frac{dp}{dt}=0$. O que resulta

\[\frac{dp}{dt}=0=f_{1}+f_{2}\]

É dito que, a força externa $f_{1}$ atua sobre o corpo 1, assim como a força externa $f_{2}$ atua sobre o corpo 2.

Aliás, você deve estar se perguntando "Por que momento é conservado?".  A conservação do momento é na verdade uma consequência direta da 3ª lei de Newton.

Considere uma colisão entre dois objetos, objeto A e objeto B. Quando os dois objetos colidem, há uma força em A devido a $F_{AB}$, mas por causa da terceira lei de Newton, há uma força igual na direção oposta, em B devido a $F_{BA}$.

As forças agem entre os objetos quando eles estão em contato. O período em que os objetos estão em contato $t_{AB}$ e $t_{BA}$ varia de acordo com as especificidades da situação. Por exemplo, seria maior para duas bolas moles do que para duas bolas de bilhar. No entanto, o tempo deve ser igual para ambas as bolas. Consequentemente, o impulso experimentado pelos objetos A e B deve ser igual em grandeza e em sentido contrário.

$$F_{AB}\cdot t_{AB}=-F_{BA}\cdot t_{BA}.$$

Se lembrarmos que o impulso é equivalente a uma mudança no momento, segue-se que a mudança nos momentos dos objetos é igual mas em direções opostas. Isso pode ser também expresso como a soma da mudança dos momentos sendo igual a zero.

$$m_{a}\Delta v_{A}=-m_{B}\Delta v_{B}\longrightarrow m_{a}\Delta v_{A}+m_{B}\Delta v_{B}=0.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Colisões". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] https://pt.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum/momentum-tutorial/a/what-is-conservation-of-momentum

[3] https://www.youtube.com/watch?v=wXewT_-jA5M

Leis de Newton

 Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

As tentativas de entender as causas e consequências do movimento dos corpos, assim como as interações entre eles foram questões que intrigaram o ser humano por uma grande parte da história. Aristóteles, grande filósofo grego e detentor de um grande conhecimento, acreditava que, dois corpos em queda livre caindo de uma mesma altura chegam ao chão em tempos diferentes, onde o objeto de maior massa chega ao solo mais rapidamente que o de menor massa. Além disso, acreditava que todo corpo fora de sua posição natural "tendia" a voltar, o explicaria o fato dos corpos caírem em queda livre. Também acreditava que a causa do movimento (quando se empurra uma caixa, por exemplo) seria aquilo que chamava de "força bruta" exercida sobre o corpo.

Porém, todas as ideias de Aristóteles eram baseada em conhecimentos do senso comum, mas a ciência ultrapassa suas fronteiras quando surge na Itália o Pai da ciência moderna, Galileu Galilei, mostrando uma nova forma de afirmar e demonstrar os fenômenos observados, onde a base era à experimentação. Tal método deu início a toda a contrução científica atual, a "ciência moderna". Galileu deu início aos estudos do movimento, mostrando suas causas e consequências.

Alguns meses posteriores a morte de Galileu, nasce na Inglaterra aquele que seria um dos maiores gênios da história da ciência, Sir Isaac Newton. Seus trabalhos sobre o movimento dos corpos contemplaram toda uma história e alcançaram horizontes jamais imaginados pela humanidade, nos fornecendo conhecimentos necessários para o engrandecimento. Têm-se como objetivo discorrer e debater acerca das três leis de movimento de Newton.

As leis de Newton

As leis de Newton são responsáveis por descrever as causas e consequências do movimentos.

Primeira Lei de Newton

Galileu defendia que tudo deveria ser provado de maneira experimental. Em umas das histórias sobre suas façanhas, Galileu subiu ao topo da Torre de Pisa (cidade onde nasceu) e de lá soltou objetos dos mais variados tamanhos e pesos, no qual acreditava que tais corpos chegariam ao chão em tempos iguais. Naqueles tempos, tais ideias contrariavam veementemente os pensamentos predominantes, mas é claro que a genialidade do homem não fora abatido.

Em um de seus experimentos, Galileu percebeu que, ao lançar uma bola em um plano inclinado com orientação vertical para cima, como na figura 1,

Figura 1: Bola subindo em um caminho inclinado.

percebeu que a bola perde velocidade até chegar em uma determinada altura limite. Inversamente, percebeu que ao jogar uma objeto (neste caso, consideramos a bola) em um plano inclinado para baixo, a velocidade aumenta, observe  nas figuras 1 e 2.

Figura 2: Bola descendo em um caminho inclinado.

Figura 3: Experimento de Galileu.

Assim, Galileu notou que, ao lançar a bola de determinada altura de um dos lados da rampa, como na Figura 3, esta chegava na mesma altura do outro lado da rampa, independente do ângulo de inclinação considerado. Também percebeu que, quanto menor o atrito nas rampas, maior era a precisão desta distância alcançada, com a bola alcançando aproximadamente a mesma altura que fora largada nas extremidades da rampa.

Figura 4: Plano sem inclinação.

Naturalmente, pensou que se não houvesse inclinação e atrito, como na figura 4, então o movimento poderia ser infinito, sem ação de forças externas. Desta forma, a ideia da primeira lei de Newton é vista da seguinte forma

Na ausência de forças externas em um sistema dinâmico, o corpo em velocidade constante mantém-se constante, enquanto um corpo em repouso permanece em repouso.

Esta ideia primordial viria a ser complementada e estruturada por Isaac Newton.  

Segunda lei de Newton: Lei Fundamental da dinâmica 

Para enunciar a segunda lei de Newton, alguns conceitos físicos básicos devem ser entendidos.

Inércia e massa - suas relações

Em linhas gerais, a inércia é uma propriedade da matéria que resiste a alteração no movimento. A pergunta que se faz naturalmente é: "O quanto cada corpo é capaz de se opor a alteração de movimento". Neste caso, a massa está estritamente ligada a esse fenômeno, pois quanto maior a massa do corpo, maior será sua resistência a alteração do seu momento dinâmico. E quando sofre aceleração, o que podemos dizer sobre? Acompanhe no próximo tópico.

Força

Força é uma grandeza vetorial, geralmente representada por uma seta, e representa a interação entre dois ou mais corpos.

Relação entre massa, força e aceleração

A massa é uma propriedade que exibe a quantidade de matéria presente em um corpo e, como fora dito anteriormente, está relacionada com a inércia. Para produzir aceleração, é necessário que a força aplicada sobre o corpo vença a inércia e as forças que se opõe ao sentido da força aplicada, tendo mais aceleração quanto maior sua intensidade e menor proporcionalmente, assim como a aceleração aumenta quanto menor for a massa e vice-versa (uma vez que está inteiramente ligada com a inércia). Logo, podemos concluir que a aceleração é diretamente proporcional a força aplicada e inversamente proporcional a massa do corpo.

$$\textrm{aceleração} = \frac{\textrm{forca}}{\textrm{massa}}$$

Enunciado

Depois de toda a discussão acima, podemos afirmar que

A aceleração de um corpo é diretamente proporcional a força aplicada e inversamente proporcional a massa do corpo

Matematicamente, a equação que representa a segunda lei de Newton é 

$$a = \frac{F}{m} \textrm{ ou } F = ma$$

Tendo em vista tais fatos, podemos também enunciar a segunda lei de Newton da seguinte forma: 

Quando as forças externas em um sistema não se anulam, o movimento será na direção da força resultante

Matematicamente falando, temos

$$\sum F \neq 0 $$

então o movimento será dado na direção da força resultante e terá módulo

$$F = ma$$

Terceira lei de Newton

A terceira lei de Newton estabelece uma lei de "ação" e "reação" na interação entre dois ou mais corpos. Em síntese, quando um corpo interage outro, sempre terá uma força contrária a força aplicada e de mesmo módulo. A terceira lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma. Segundo [1]:

Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro são iguais e módulos e sentidos opostos.

Uma pergunta natural que se faz nesse momento é: "Se esta lei é válida, então todas as forças na interação entre dois corpos sempre se anulam e nunca teremos movimento?"

A partir dessa ideia, temos a ideia de sistema, ou seja, o movimento depende do sistema considerado, pois forças externas são capazes de alterar o movimento, mas forças internas sempre se anulam, então segue da primeira lei de Newton. Todavia, ainda não falamos de sistema, não é? A ideia é que apenas dois sistemas distintos podem interagir um com o outro a ponto de que eles influenciem no resultado final de seu movimento, em outras palavras, quando considerado dois corpos aplicando uma força um com o outro, haverá movimento se a força aplicada em um dos corpos for superior a inércia do outro.

Figura 5: Empurrando uma caixa, enquanto esta caixa exerce uma força de mesmo módulo, mas sentido contrário. Por se tratarem de sistemas diferentes e a força aplicada pela mão for externa ao sistema da caixa, ele entrará em movimento quando a força da mão vencer a inércia e as forças dissipativas presentes. Fonte: Denis, blog biologia total, 2019.

Exemplos

Figura 6: Nesta situação do homem realizando flexão, ele encontra-se em situação de equilíbrio, pois empurra o chão na mesma intensidade que o chão o empurra. Fonte: Blog do professor Ferreto, 2020.

Figura 7: Nesse caso, o foguete empurra o gás através de suas turbinas enquanto o gás expelido empurra o foguete em sentido contrário, o que possibilita o seu lançamento. Fonte: Denis, blog biologia total, 2019.

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Conservação do Momento". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Hewitt, Paul G.; Física conceitual; 12ª edição. Editora: Bookman. Porto Alegre, 2015.

Movimento Circular Uniforme

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

O movimento circular uniforme é um movimento bidimensional (plano), em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade instantânea é constante, de modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempos iguais. Temos assim um movimento periódico, em que o período corresponde ao tempo levado para descrever uma volta completa.

Suponha que uma partícula esteja girando, correspondente a um sistema cartesiano com origem no centro do círculo, figura 1, com as condições especificadas no parágrafo anterior. Em um instante, dado a posição de uma partícula como P, vemos que sua posição é definida em termos de $\theta$, entre o vetor deslocamento $\vec{r}=\vec{OP}$ e o eixo $Ox$, onde $\theta$ é positivo no sentido anti-horário. Lembrando que $\theta$ é medido em radianos.

Figura 1: Movimento circular

Vamos introduzir dois vetores unitários $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$, onde $\hat{r}$ está na direção de $\vec{r}$, e $\hat{\theta}$ é tangente ao círculo em P, orientado na direção de $\theta>0$, e portanto perpendicular a $\vec{r}$.

Pelas condições do movimento circular uniforme, a lei horária do movimento é

$$s(t)=s_{0}+v(t-t_{0}),$$ onde $s=\vert\vec{r}\vert\theta$. Pela definição de $s$, $s_{0}$ é o valor do arco no instante inicial $t_{0}$ e $v$ é a velocidade com a qual o arco $s$ é descrito. 

Lembrando da definição de velocidade, variação do deslocamento pela variação no tempo, temos que a velocidade instantânea é dada por $v=\vert\vec{v}\vert=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta s}{\Delta t}\bigg)=\frac{ds}{dt}$, porém quando $\Delta t\rightarrow0$ implica na extrema aproximação de $\vert\Delta \vec{r}\vert$ com $\Delta s$. Portanto, se $\vert\vec{r}(t)\vert = c$ (uma constante), então $\vec{r^{'}}(t)=\frac{dr}{dt}$ é ortogonal a $\vec{r}(t)$ para todo t. Uma vez que

$$\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)=\vert\vec{r}(t)\vert^{2}=c^{2},$$ pela regra do produto (derivação de um produto) temos

$$\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)+\vec{r}(t)\cdot\vec{r^{'}}(t)=2\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t),$$ mas como $\frac{d}{dt}[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)]=0$. Obtemos por fim que

$$\vec{r^{'}}(t)\cdot\vec{r}(t)=0 \Longrightarrow \vec{r^{'}}\bot\vec{r}.$$

Por consequência disto, a velocidade instantânea $\vec{v}$ é tangente ao círculo no ponto P, pois no limite $\Delta t\rightarrow0$, $\vert\Delta \vec{r}\vert$ se confunde com $\Delta s$.

Como $\vec{v}$ é tangente, temos então $\vert\vec{v}\vert=v\hat{\theta}$.

Figura 2: Vetor velocidade de uma partícula

O período $T$ é o tempo levado para descrever uma volta completa, ou seja 

$$T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}.$$

Chama-se de frequência o número de rotações por unidade de tempo, e é definido como o inverso do período $f=\frac{1}{T}.$

Empregando $s=\vert\vec{r}\vert\theta$ em $s(t)=s_{0}+v(t-t_{0})$, obtemos uma expressão da lei horária em termos do ângulo $\theta$ descrito em função do tempo:

$$\theta(t)=\theta_{0}+\omega(t-t_{0}),$$ onde $$\omega=\vert\vec{v}\vert/\vert\vec{r}\vert,$$ chama-se velocidade angular. Percebe-se que a velocidade cresce linearmente com o tempo, ou seja, $\vert\vec{v}\vert=\omega\vert\vec{r}\vert$; o que faz sentindo pois na "circunferência mais externa", a partícula deve percorrer um arco $s$ maior, e como tem de se manter os arcos de círculo iguais em tempos iguais, deve-se aumentar o módulo da velocidade (em todo o arco de circulo, pois em círculos diferentes ela mudará).

Substituindo $T=\frac{2\pi \vert\vec{r}\vert}{\vert\vec{v}\vert}$ em $\omega=v/\vert\vec{r}\vert$, obtemos $$\vert\omega\vert=\frac{2\pi}{T}=2\pi f.$$

Figura 3: Vetores velocidade e aceleração

A fig. 3 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento circular uniforme. O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da circunferência. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de aceleração centrípeta (“que busca o centro”).

Há vários jeitos de se alcançar a expressão da aceleração no movimento circular uniforme. Vamos apresentar o jeito que acreditamos ser o mais didático possível.

Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme, considere a fig. 4. Na fig. 5 a partícula $p$ se move com velocidade escalar constante enquanto percorre uma circunferência de raio $\vert\vec{r}\vert=r$. No instante mostrado, as coordenadas de $p$ são $x_{p}$ e $y_{p}$.

Como vimos anteriormente, a velocidade de uma partícula em movimento é sempre tangente à trajetória da partícula na posição considerada. Na fig. 4, isso significa que $\vec{v}$ é perpendicular a uma reta $r$ que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo $\theta$ que $\vec{v}$ faz com uma reta paralela ao eixo $y$ passando pelo ponto $p$ é igual ao ângulo $\theta$ que o raio $r$ faz com o eixo $x$.

As componentes escalares de $\vec{v}$ são mostradas na fig. 5. Em termos dessas componentes, a velocidade pode ser escrita na forma

$$\vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}=(-v\sin{\theta})\vec{i}+(v\cos{\theta})\vec{j}.$$

Usando o triângulo retângulo da fig. 4, podemos substituir $\sin{\theta}$ por $y_{p}/r$ e $\cos{\theta}$ por $x_{p}/r$ e escrever

$$\vec{v}=-\frac{vy_{p}}{r}\vec{i}+\frac{vx_{p}}{r}\vec{j}.$$

Para determinar a aceleração $\vec{a}$ da partícula em $p$, devemos calcular a derivada de $\vec{v}$ em relação ao tempo. Observando que a velocidade escalar $v$ e o raio $r$ não variam com o tempo, obtemos

$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\bigg(-\frac{v}{r}\frac{dy_{p}}{dt}\bigg)\vec{i}+\bigg(\frac{v}{r}\frac{dx_{p}}{dt}\bigg)\vec{j}.$$

Note que a taxa de variação com o tempo de $y_{p}$ é igual à componente $y$ da velocidade, $v_{y}$. Analogamente, $dx_{p}/dt = v_{x}$, e, novamente de acordo com a fig. 5, $v_{x} = –v \sin{\theta}$ e $v_{y} = v \cos{\theta}$.

Fazendo essas substituições na equação de $\vec{a}$, obtemos

$$\vec{a}=\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}\bigg)\vec{i}+\bigg(-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}\bigg)\vec{j}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}.$$

Esse vetor e suas componentes aparecem na fig. 6. Portanto, o tamanho do vetor $\vec{a}$ dá o valor escalar da aceleração. Então

$$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\frac{v^{2}}{r}\sqrt{(\cos{\theta})^{2}+(\sin{\theta})^{2}}=\frac{v^{2}}{r}.$$

Para determinar a orientação de $\vec{a}$, basta calcularmos o ângulo $\theta_{6}$ (ângulo relacionado a fig. 6):

$$\tan{\theta_{6}}=\frac{a_{y}}{a_{x}}=\frac{-\frac{v^{2}}{r}\cos{\theta}}{-\frac{v^{2}}{r}\sin{\theta}}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\tan{\theta} \longrightarrow \theta_{6}=\theta.$$ O que significa que $\vec{a}$ aponta na direção do raio $r$ da fig. 4.

Figura 4: Sistema do movimento

Figura 5: Componentes da velocidade

Figura 6: Componentes da aceleração

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "As leis de Newton". Nos vemos lá.

Referências

[1] Halliday; Resnick.; Fundamentos de Física: Mecânica. 10ª Edição, volume 1. Editora: LTC.

[2] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

Novo episódio do podcast Centauro Mental - Física no teatro

Foi lançado o novo episódio do podcast Centauro Mental, de título "Física no teatro".

Neste episódio do podcast Centauro Mental, conversamos sobre o papel da física no teatro e sobre experiências que tivemos envolvendo esta arte.

O episódio pode ser escutado no anchor.fm ou no Spotify.

Movimento Bidimensional

Por Katson Wendell, Alexandre Montalvão e Priscila Souza

Continuando a discussão sobre cinemática das últimas semanas, hoje falamos sobre movimento em mais de uma dimensão, generalizando o tema da semana passada.

O movimento unidimensional que vimos anteriormente é um caso particular de uma classe mais ampla de movimentos que ocorrem em duas ou três dimensões. Se o movimento de um corpo está completamente restrito a um plano, ele é denominado movimento bidimensional. Neste caso, a posição é especificada através de coordenadas polares $(r, \theta)$ ou cartesianas $(x, y)$.

Para movimentos planos, as grandezas cinemáticas: posição $r$ (dado pelo ponto $(x,y)$), velocidade $v$ e aceleração $a$, não são necessariamente paralelas como acontece no movimento unidimensional. Desta forma, é de importância fundamental tratar estas grandezas vetorialmente. Assim, todas as grandezas até então definidas serão tratadas como vetores

$$\vec{v}_{méd}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$

$$\vec{v}_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\bigg)_{t=t_{0}},$$ onde $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}$ é um vetor de posição relativo a um referencial qualquer.

$$\vec{a}_{méd}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$

$$\vec{a}_{insta.}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\bigg(\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\bigg)_{t=t_{0}}.$$

A variação temporal de um vetor pode ser analisada através da variação temporal de suas componentes, da forma:  $$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}\Longrightarrow\vec{v}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}.$$ Lembre-se, os vetores unitários $\vec{i}$ e $\vec{j}$ não variam com o tempo.

Uma prática muito recorrente é a de decompor vetores, isto é útil, pois permite analisar o movimento independentemente. Por exemplo, $$\vec{v}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j},$$ ou seja, a velocidade na direção $x$ só depende da variação da coordenada $x$ com o tempo, e a mesma coisa pode ser dita para a velocidade na direção $y$. Por isso, as equações do movimento retilíneo uniforme, ou uniformemente variado, podem ser utilizados no movimento bidimensional, pois tratamos tal movimento como sendo uma composição de outros dois movimentos. Por exemplo, no caso do lançamento de projéteis (desprezando a resistência do ar, ou tudo que atrapalhe o movimento), levando como referencial um plano cartesiano, temos uma composição de dois movimentos retilíneos, um acelerado através do eixo $y$ e outro uniforme na direção do eixo $x$. Por tanto, as equações destes dois movimentos são "renovados" com um caráter vetorial.

Um caso importante de movimento plano é aquele onde temos: $\vec{a}=-g\vec{j}$ (aceleração da gravidade)  que corresponde ao movimento de um corpo atirado de maneira arbitrária. Neste caso, o movimento será acelerado na direção $y$ e não acelerado nas demais. Vamos imaginar a situação em que o corpo é lançado obliquamente de maneira a formar um ângulo θ com a superfície, como mostrado na figura.

Lançamento de um projétil

Tomando-se o eixo $x$ paralelo à superfície e o eixo $y$ na vertical, a velocidade inicial $v_{0}$ pode ser decomposta em $v_{x}= v_{0} \cos{\theta}$ e $v_{y} = v_{0} \sin{\theta} $ . Na direção $x$ não existe aceleração, porém na direção $y$ temos $a_{y} = -g$ de modo que temos: 

$$\begin{cases}v_{x}(t)=v_{0}\cos{\theta}\\x(t)=x_{0}+v_{x}t=x_{0}+v_{0}\cos{\theta}t \end{cases}$$

e

$$\begin{cases}v_{y}(t)=v_{y}-gt=v_{0}\sin{\theta}-gt\\y(t)=y_{0}+v_{y}t-\frac{1}{2}gt^{2} \end{cases}$$

Eliminando-se o tempo do primeiro conjunto de equações $(t=\frac{x-x_{0}}{v_{x}} )$ e substituindo no segundo obtemos:  $$y=y_{0}+v_{y}\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}}\bigg)-\frac{1}{2}g\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}}\bigg)^{2}.$$ Que representa uma trajetória parabólica. A altura máxima pode ser calculada tomando-se $dy/dx = 0$. Portanto $$\frac{v_{y}}{v_{x}}-g\bigg(\frac{x-x_{0}}{v_{x}^{2}}\bigg)=0\Longrightarrow x=x_{max}=x_{0}+\bigg(\frac{v_{x}v_{y}}{g}\bigg)$$ e substituindo em $y(t)$ obtemos a expressão para a altura máxima atingida na trajetória: $$y=y_{max}=y_{0}+\frac{1}{2}\frac{v_{y}^{2}}{g}.$$

E é isso aí, pessoal. Na próxima semana falaremos sobre "Movimento Circular Uniforme". Nos vemos lá.

Referências

[1] Nussenzveig M.; Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª Edição, pág. 324. Editora: EDGARD BLÜCHER LTDA. São Paulo, SP, 2002.

[2] Piórichkine A.V.; Ródina N.A. FÍSICA 1. U.R.S.S., 1984. 366 pág. Editora: Mir. Moscovo.